Proposizione sul rango di una moltiplicazione matriciale

Salve, ho un problema nel capire una dimostrazione:



Non capisco con quale criterio il rango di AB sia compreso fra il rango di A*B*B^(-1) = rango di A, e il rango di A stesso.
Secondo quali criteri ci aspettiamo che sia più piccolo del rango di A?
Secondo quali criteri ci aspettiamo che invece sia più grande del rango di A*B*B^(-1)?

Grazie in anticipo.

Viene applicato ripetutamente il seguente fatto: se $X$ e $Y$ sono due matrici tra loro moltiplicabili allora

$rg(XY) le rg(X)$,

$rg(XY) le rg(Y)$.

(prova a rifare l'esercizio usando queste disuguaglianze, che valgono in generale!)

Il motivo è sostanzialmente che se hai una composizione di funzioni lineari



allora l'immagine della composizione \( \displaystyle g \circ f:U \to W \) è contenuta (ovviamente) nell'immagine di \( \displaystyle g:V \to W \) , cioè \( \displaystyle g(f(U)) \subseteq g(V) \) , e quindi \( \displaystyle \dim(g(f(U)) \leq \dim(g(V)) \) .

Inoltre \( \displaystyle \dim(f(U)) \geq \dim(g(f(U)) \) perché vale in generale la cosa seguente: se \( \displaystyle f:V \to W \) è lineare allora \( \displaystyle \dim(V) \geq \dim(f(V)) \) (pensaci).

Collega i puntini ricordando che la composizione di due funzioni lineari corrisponde al prodotto delle matrici associate e che la dimensione dell'immagine di una funzione lineare coincide col rango della matrice associata.

Ho finalmente capito!
A = X
B = Y
B^(-1) = Z

rg(XY) ≤ rg(X)

rg(XY) ≤ rg(Y),

Allora a maggior ragione:

rg(XYZ) ≤ rg(XY)