date le forme quadratiche da $RR^4->RR$ stabilire se esse sono congruenti:
$f:2x^2+4xy+z^2+2zw+2w^2$
$g:2x^2+4xy+y^2+2zw+2w^2$
la matrice associata a $f$ è
$F=((2,2,0,0),(2,0,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2))$
corretta?
e per calcolare gli autovalori trovo
$F'=((2-t,2,0,0),(2,0-t,0,0),(0,0,1-t,1),(0,0,1,2-t))$
sviluppando il determinate di $F'$ con la regola di Laplace rispetto alla prima riga trovo
$(2-t)[-t(1-t)(2-t)+t]-2[2(1-t)(2-t)-2]$
potrebbe essere corretto?
perchè svolgendo i conti(facile che ci siano errori) trovo poi un'equazione molto difficile, cioè
$t^4-5t^3+3t^2+10t-4=0$ che non riesco a risolvere.
allo stesso modo la matrice associata a $g$ è
$G=((2,2,0,0),(2,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,2))$
corretta?
e quindi
$G'=((2-k,2,0,0),(2,1-k,0,0),(0,0,0-k,1),(0,0,1,2-k))$
calcolando il determinante con Laplace rispetto alla prima riga trovo
$(2-k)[(1-k)(-k)(2-k)-(1-k)]-2[-2k(2-k)-2]$
potrebbe essere corretto?
perchè sviluppando i conti trovo
$k^4-5k^3+3k^2+7k+2$
che non riesco a risolvere.
Qualcuno può darmi una mano?
Sto impazzendo e non capisco dove commento errori.
Lo sviluppo del determinante mi pare corretto ma non ne ho la certezza.
Grazie