Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
21/01/2020, 12:15
Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio:
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà
21/01/2020, 15:58
Rifletti: quanti polinomi che si annullano in $+-1$ puoi scrivere? E di che grado?
21/01/2020, 20:01
Dovrebbero essere tutti del tipo n(x^2-1) e tutti di grado 2n ossia pari, o sbaglio?
21/01/2020, 23:15
Il polinomio che hai scritto ha grado $2$… Ma non è quello di grado massimo, poiché ad esempio $x^4 - 1$, $x^6 - 1$, $x^8 - 1$ soddisfano le condizioni nulle in $+-1$.
Riesci a trovarne altri? Cosa deduci sulla dimensione di $C$?
22/01/2020, 00:11
Ne deduco che esistono infiniti polinomi che soddisfano le condizioni nulle in $ +-1 $ siccome basta che in $ x^n- 1 $, $n$ sia un numero pari, quindi la dimensione dovrebbe essere infinita?
Mentre una base potrebbe essere \(\displaystyle B={1, x^2, x^4,....,x^{2n}} \)
22/01/2020, 09:40
Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.
...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
22/01/2020, 10:29
j18eos ha scritto:Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.
...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
$n$ è uno scalare appartenente ad $R$
ora che mi ci fa riflettere, anche \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\in C \), quindi verificano le condizioni sia binomi di grado $2$ che quadrinomi del tipo \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\), questo vuol dire che $C$ non ha una dimensione finita?
23/01/2020, 10:36
Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.
Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
23/01/2020, 18:49
j18eos ha scritto:Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.
Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
Mi viene in mente la regola di Ruffini e che si dovrebbe applicare due volte. Quindi,
\(\displaystyle p(1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
\(\displaystyle p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
perciò il polinomio apparterrà a C se sono verificate in contemporanea le due condizioni
\(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)(x+1)*p0\)
o meglio scritto \(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x^2-1)*p0\)
dove $p0$ indica un qualsiasi altro polinomio qualsiasi
Mi dica se ho sbagliato qualcosa e dove, inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
23/01/2020, 22:16
Esatto; quell'insieme è così ri-scrivibile:
\[
C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}.
\]
Sicché diventa facile dimostrare che è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) (se non l'ha dimostrato in altra maniera).
Per quanto riguarda il calcolo di una base di \(\displaystyle C\), è utile utilizzare usare la base canonica
1 di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) e la nuova caratterizzazione di \(\displaystyle C\).
Una volta trovata una base, si trova sùbito la dimensione di \(\displaystyle C\).
john_titor20 ha scritto:[...] inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
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