@ john_titor20:
Fortunatamente youmath non lo leggo (ho AdBlock attivo e non lo disattivo nemmeno se viene Sbranchella a chiedermelo
)…
Ad ogni buon conto, se $p in C$ è un polinomio con $"grad"(p)=n$, allora per il Teorema del Resto $p$ è divisibile per $x-1$ ed $x+1$, ossia per $x^2 - 1$; dunque è $p(x) = q(x)*(x^2 - 1)$ con $q$ univocamente determinato dall'algoritmo della divisione con $"grad"(q)=n-2$. Ne viene che esistono $n-1$ scalari $q_0,... , q_(n-2)$ tali che $q(x)=q_0+q_1x+... + q_(n-2)x^(n-2)$ e perciò:
$p(x)=[q_0 + q_1 x + ... + q_(n-2) x^(n-2)]*(x^2 - 1) = q_0*(x^2-1) + q_1 x*(x^2 - 1) + ... + q_(n-2) x^(n-2)*(x^2 - 1)$
cosicché $p$ si scrive in unico modo come combinazione lineare dei polinomi dell'insieme $B=\{x^2-1, x*(x^2-1),..., x^n*(x^2-1),...\}$. Ciò prova che $B$ è una base di $C$.
@ j18eos: Simpatico questo esercizio.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)