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Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio:
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà

Rifletti: quanti polinomi che si annullano in $+-1$ puoi scrivere? E di che grado?

Dovrebbero essere tutti del tipo n(x^2-1) e tutti di grado 2n ossia pari, o sbaglio?

Il polinomio che hai scritto ha grado $2$… Ma non è quello di grado massimo, poiché ad esempio $x^4 - 1$, $x^6 - 1$, $x^8 - 1$ soddisfano le condizioni nulle in $+-1$.
Riesci a trovarne altri? Cosa deduci sulla dimensione di $C$?

Ne deduco che esistono infiniti polinomi che soddisfano le condizioni nulle in $ +-1 $ siccome basta che in $ x^n- 1 $, $n$ sia un numero pari, quindi la dimensione dovrebbe essere infinita?
Mentre una base potrebbe essere \(\displaystyle B={1, x^2, x^4,....,x^{2n}} \)

Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.

...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).

j18eos ha scritto:Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.

...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto se si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).

$n$ è uno scalare appartenente ad $R$
ora che mi ci fa riflettere, anche \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\in C \), quindi verificano le condizioni sia binomi di grado $2$ che quadrinomi del tipo \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\), questo vuol dire che $C$ non ha una dimensione finita?

Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.

Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?

j18eos ha scritto:Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.

Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?

Mi viene in mente la regola di Ruffini e che si dovrebbe applicare due volte. Quindi,
\(\displaystyle p(1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
\(\displaystyle p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
perciò il polinomio apparterrà a C se sono verificate in contemporanea le due condizioni
\(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)(x+1)*p0\)
o meglio scritto \(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x^2-1)*p0\)
dove $p0$ indica un qualsiasi altro polinomio qualsiasi

Mi dica se ho sbagliato qualcosa e dove, inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.

Esatto; quell'insieme è così ri-scrivibile:
\[
C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}.
\]
Sicché diventa facile dimostrare che è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) (se non l'ha dimostrato in altra maniera).

Per quanto riguarda il calcolo di una base di \(\displaystyle C\), è utile utilizzare usare la base canonica¹ di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) e la nuova caratterizzazione di \(\displaystyle C\).

Una volta trovata una base, si trova sùbito la dimensione di \(\displaystyle C\).

john_titor20 ha scritto:[...] inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.

Dopo oltre 6500 messaggi su questo forum, le assicuro che continuo a rispondere (anche) per piacere personale.

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