Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

[john_titor20]

Quindi posso affermare che una base dell'insieme $C$ è \(\displaystyle B={{ 1, x, x^2, ..., x^n }} \) e che la dimensione del sottospazio vettoriale risulta essere $n+1$.

Se ciò che ho detto è corretto, mi sorge un dubbio: visto che sto utilizzando una base canonica, la dimostrazione che essa è proprio una base di $C$ diventa sotto-intesa ?

[j18eos]

Eh no! Ad esempio \(\displaystyle1\notin C\)...

Però è vero che \(\displaystyle\{1,x,\dots,x^n,\dots\}\) è la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\): come usarla per calcolare una base di \(\displaystyle C\)?

[john_titor20]

Eh no! Ad esempio \(\displaystyle1\notin C\)...

Però è vero che \(\displaystyle\{1,x,\dots,x^n,\dots\}\) è la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\): come usarla per calcolare una base di \(\displaystyle C\)?

\[ C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}. \]
il polinomio può essere scritto anche come \(\displaystyle -p_0+p_0(x^2) \) e perciò le componenti del polinomio rispetto alla base risultano essere \(\displaystyle (-p_0, 0, p_0) \) e dunque base potrebbe essere \( \displaystyle\ {-1, x^2} \) ?

Se ciò che ho scritto non ha senso o contiene errori potrebbe, sempre cortesemente e ringraziandola, farmi vedere lei il metodo da applicare?

[j18eos]

Non è una questione di metodo (o di suppliche ), è una questione di ragionamento: essendo \(\displaystyle p_0\in\mathbb{R}[x]\) allora questi si scrive come \(\displaystyle p_0=a_0\cdot1+a_1\cdot x+\dots+a_n\cdot x^n\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq0}\) (questa è una combinazione di polinomi); applicato ciò alla precedente caratterizzazione di \(\displaystyle C\), si ha che questi è generato dai monomi \(\displaystyle(x^2-1),x(x^2-1),\dots,x^n(x^2-1),\dots\)

Perché?

Ovviamente, avendo trovato un sistema generatore, resta da capire se questi sia minimale; e se non lo è, eliminare gli elementi "in eccesso".

In questo caso, è evidente la risposta...

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Comunque mi fa piacere leggere il suo impegno!

P.S.: dato che prevenire è meglio che curare, \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è un insieme generatore di \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale, ma mica è minimale?

[john_titor20]

Ok, quindi se ho capito bene, siccome si nota che quel sistema di generatori è anche minimale, ossia è il più piccolo insieme composto da vettori che generano tutto lo spazio vettoriale, ciò vuol dire che i monomi \( \displaystyle(x^2-1),x(x^2-1),\dots,x^n(x^2-1),\dots \) formano una base di $C$

[..] P.S.: dato che prevenire è meglio che curare, \( \displaystyle\mathbb{Q} \) è un insieme generatore di \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale, ma mica è minimale?

Rispondendo a ciò, io oserei affermerei di no perché per definizione di minimale, \( \displaystyle\mathbb{Q} \) non è il più piccolo insieme che genera tutto \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale

[j18eos]

Tutto bene, però resta da capire perché quell'insieme genera \(\displaystyle C\);

che sia minimale è facile: se si toglie un \(\displaystyle x^k(x^2-1)\), questi non lo si può ottenere come combinazione lineare degli altri polinomi.

[gugo82]

Più che altro, io avevo in mente una cosa più semplice.

Dato che ogni polinomio $p_n(x):= x^(2n) - 1$ (con $n >=1$) soddisfa $p_n(+-1)=0$, è chiaro che $p_n in C$; e, visto che i polinomi $p_n$ sono indipendenti per il Principio di Identità, è chiaro che $C$ non può essere finitamente generato (se lo fosse, i polinomi che vi appartengono -e dunque anche i $p_n$- avrebbero tutti grado $<=$ di un certo grado massimo $N$, cosa che non è) e dunque $C$ ha dimensione infinita.

Chiaramente, questo ragionamento non fornisce “gratis” una base di $C$… E questa è l’unica pecca (mi pare).

[john_titor20]

Perfetto, dunque ricapitolando siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ e poiché è anche minimale arriviamo alla conclusione che sia una base di $C$.

e quell'insieme genera $C$ poiché è un suo sistema di generatori, ossia è possibile scrivere $C$ mediante sue combinazioni lineari.

Ringrazio profondamente entrambi, soprattutto lei j18eos

[gugo82]

[…] siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ […]

“Quell’insieme” quale?

Se è quello di j18eos, mi pare che il perché quello sia un sistema di generatori sia una cosa ancora da chiarire.

[john_titor20]

[…] siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ […]

“Quell’insieme” quale?

Se è quello di j18eos, mi pare che il perché quello sia un sistema di generatori sia una cosa ancora da chiarire.

Mea culpa, chiedo venia. Ho ragionato senza esprimere ciò a cui avevo pensato per verificare dove ci fossero errori.
Ho fatto questa considerazione, basandomi su ciò che ho letto letto su youmath https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/678-sistema-di-generatori-di-uno-spazio-vettoriale.html nell'ultimo paragrafo
Avendo visto che comunque $C$ è uno spazio vettoriale infinito-dimensionale e che la sua base è formata da "infiniti" vettori, dimostrando che ${(x^2-1),x(x^2-1),..., x^n(x^2-1),... }$ contiene vettori linearmente indipendenti, posso affermare che quest'insieme rappresenta un sistema di generatori.