Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

[j18eos]

[...] dimostrando che $ {(x^2-1),x(x^2-1),..., x^n(x^2-1),... } $ contiene vettori linearmente indipendenti, posso affermare che quest'insieme rappresenta un sistema di generatori.

Esatto, è questo il punto.

Mi pare di capire che l'ha capìto.

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Ci vediamo all'esame?

@gugo82 Esatto: lì non si ha "gratis" una base, dato che si dovrebbe poi completare quel sistema libero a un medesimo massimale.

[john_titor20]

Perfetto, grazie mille ad entrambi

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Ci vediamo all'esame?

Certo , appena sarò pronto verrò a sostenere l'esame il prima possibile, non sa quanto mi sto esercitando

[gugo82]

@ john_titor20:

Fortunatamente youmath non lo leggo (ho AdBlock attivo e non lo disattivo nemmeno se viene Sbranchella a chiedermelo )…

Ad ogni buon conto, se $p in C$ è un polinomio con $"grad"(p)=n$, allora per il Teorema del Resto $p$ è divisibile per $x-1$ ed $x+1$, ossia per $x^2 - 1$; dunque è $p(x) = q(x)*(x^2 - 1)$ con $q$ univocamente determinato dall'algoritmo della divisione con $"grad"(q)=n-2$. Ne viene che esistono $n-1$ scalari $q_0,... , q_(n-2)$ tali che $q(x)=q_0+q_1x+... + q_(n-2)x^(n-2)$ e perciò:

$p(x)=[q_0 + q_1 x + ... + q_(n-2) x^(n-2)]*(x^2 - 1) = q_0*(x^2-1) + q_1 x*(x^2 - 1) + ... + q_(n-2) x^(n-2)*(x^2 - 1)$

cosicché $p$ si scrive in unico modo come combinazione lineare dei polinomi dell'insieme $B=\{x^2-1, x*(x^2-1),..., x^n*(x^2-1),...\}$. Ciò prova che $B$ è una base di $C$.

@ j18eos: Simpatico questo esercizio.

[j18eos]

@john_titor20 Prego, di nulla.

@gugo82 Grazie: mi piace sfantasiarmi.