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Buonasera,

come dimostrare la corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di proporzionalità di equazioni lineari in due incognite?

Non ho la più pallida idea di dove partire, mancandomi la definizione di classe di proporzionalità.

Quand’è che due equazioni lineari si dicono proporzionali?
La relazione di proporzionalità di quali proprietà gode? Per caso è un’equivalenza?
Nel caso lo fosse, com’è fatta la classe di equivalenza di un’equazione fissata?

gugo82 ha scritto:Quand’è che due equazioni lineari si dicono proporzionali?

Quando individuano vettori linearmente dipendenti, giusto?

gugo82 ha scritto:La relazione di proporzionalità di quali proprietà gode? Per caso è un’equivalenza?
Nel caso lo fosse, com’è fatta la classe di equivalenza di un’equazione fissata?

Non mi è chiaro quale relazione ci sia tra le equivalenze e la proporzionalità.

Qualche anima pia che mi aiuti? Domani ho l'orale è non mi è ancora chiaro questo concetto

E' chiaro che si parla di $RR^3$
L'equazione di un piano è $ax+by+c+d=0$
Se moltiplico ambo i membri per $n$, è ancora il medesimo piano.
Ora intersechiamolo con un secondo piano a piacere. Il sistema di secondo grado definisce una retta.

Se moltiplichiamo a piacere i due piani rispettivamente per $n$ e $k$, resta la stessa retta.
Anche facendo operazioni di somma o sottrazione dei due piani, resta la medesima retta
(esempio https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=205595 )

Tutti sistemi lineari a due equazioni possono quindi essere raccolti in classi di equivalenza basate sulla proporzionalità. Ogni classe è associata alla medesima retta affine, pertanto possiamo stabilire una relazione biunivoca.

@ Bokonon:

RP-1 ha scritto:[…] rette del piano affine […]

Bokonon ha scritto:E' chiaro che si parla di $ RR^3 $

gugo82 ha scritto:

Vabbè ha capito lo stesso