Roxy98 ha scritto:determino che la $dim(U)=2$ e quindi per definizione prendo i primi due vettori della matrice che sono linearmente indipendenti ed essa sarà la base giusto?
La dimensione è corretta (e si notava a colpo d'occhio che $sqrt(2)u_2+sqrt(2)u_3=u_1$) ma nessuna "definizione" ti obbliga a prendere $u_1$ e $u_2$. Ovviamente vanno bene ma, se proprio volessi quei due, io prenderei $1/sqrt(2)u_1$ perchè la cosa importante è lo span e quindi la direzione resta la stessa...ma senza radici.
Ancora più semplice è prendere come base $u_2$ e $u_3$.
Da qualsiasi base tu scelga, otterrai il medesimo piano in equazione cartesiana.
Roxy98 ha scritto:adesso mi chiede di fare la stessa cosa con
${(X,Y,Z)€R^3 : X+2Y-Z=0,-2X-4Y+2Z=0}$
Ho disposto nuovamente per riga ed ho trovato la dim cioè n-rango=2
Quindi la base di $W$ è $w1(-1,1-0)$ $w2(1,0,1)$.
Non è LA base ma UNA possibile base e $w_1$ è sbagliato, forse volevi scrivere $w_1=(-1,1,1)$
Parliamo di W. Si nota subito che il secondo i due piani sono il medesimo piano (la seconda equazione è la prima moltiplicata per $-2$), quindi ha dimensione due.
Fossero state due equazioni diverse allora W sarebbe stato l'intersezione di due piani passanti per l'origine, ovvero una retta. E questo ci porta all'ultimo punto...
Roxy98 ha scritto:Adesso mi sono bloccata, mi chiede di calcolare la dim(u+w) e stabilire se è somma diretta come faccio?
U e V sono due piani passanti per l'origine in $RR^3$, quindi si devono intersecare. E la loro intersezione è il sistema fra le due equazioni cartesiane dei due piani, quindi una retta.
Per Grassman abbiamo che $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(UnnW)=2+2-1=3$
Più prosaicamente, se metti in una matrice i 4 vettori delle due basi, puoi ricavarne 3 indipendenti che generano tutto $RR^3$.
Si può intuire che non sono in somma diretta perchè implicherebbe che $dim(UnnW)=0$.
Possono 4 vettori di $RR^3$ creare uno spazio di dimensione più grande di quello che li contiene?