Traccia e commutatori

Salve!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare; la traccia è la seguente:
“Sia $ mathbb(K) $ un campo di caratteristica zero. Dimostrare che una matrice quadrata a coefficienti in $ mathbb(K) $ ha traccia nulla se e solo se la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA.”

Ora, un’implicazione è triviale e mi è riuscita, tuttavia non riesco a dimostrare l’altra (ovvero se una matrice ha traccia nulla allora la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA).
Non so veramente da che parte iniziare. Qualcuno avrebbe delle idee o dei suggerimenti?
Grazie mille.

Ciao, io comincerei mostrando che le matrici $E_(ij)$ con $i ne j$ (che ha $1$ nella posizione $(i,j)$ e zero altrove) si possono scrivere come $AB-BA$ per opportune matrici $A$, $B$.

Per esempio osserva che

$((0,1),(0,0))((0,0),(0,1))-((0,0),(0,1))((0,1),(0,0))=((0,1),(0,0))$.

In questo modo sei ridotto a studiare le matrici diagonali di traccia nulla.

Ciao, io comincerei mostrando che le matrici $E_(ij)$ con $i ne j$ (che ha $1$ nella posizione $(i,j)$ e zero altrove) si possono scrivere come $AB-BA$ per opportune matrici $A$, $B$.

Per esempio osserva che

$((0,1),(0,0))((0,0),(0,1))-((0,0),(0,1))((0,1),(0,0))=((0,1),(0,0))$.

In questo modo sei ridotto a studiare le matrici diagonali di traccia nulla.

Ok, se questo è vero, il resto si dimostra banalmente. Ma quello che dici come si dimostra? Vale per tutte le matrici $E_(ij)$ con $i ne j$ (di qualsiasi ordine)?

Io proverei a calcolare

$E_(ij)E_(jj)-E_(jj)E_(ij)$

con $i ne j$.

Dovrebbe fare $E_(ij)$.

Per fare il conto ricordati che vale la formula generale

$(AB)_(ij)=sum_kA_(ik)B_(kj)$

Poi ci sono da studiare le matrici diagonali a traccia nulla.

Un verso è ovvio; l'altro verso non sembra avere una dimostrazione veramente elementare: è un esercizio d'esame? Ci sono ipotesi aggiuntive?

È un esercizio del libro, il testo dell’esercizio è esattamente quello che ho riportato non ci sono altre ipotesi

La dimostrazione più slick che mi viene in mente usa il fatto che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice; per questo ti ho chiesto da dove viene l'esercizio.

Una dimostrazione elementare, ma che non mi sembra possa venire in mente allo studente medio, è qui https://people.eecs.berkeley.edu/~wkaha ... trace0.pdf

Scusa solaàl non credo che sia come dici: rileggi l'esercizio proposto da frankardius. Dice "una matrice ha traccia nulla se e solo se è una combinazione lineare di commutatori". Il che è ben più facile che dire "una matrice ha traccia nulla se e solo se è un commutatore", concordi?

L'esercizio si risolve in modo elementare come ho indicato nel precedente intervento.

La dimostrazione più slick che mi viene in mente usa il fatto che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice;

Sono curioso, puoi entrare nei dettagli? Mi aiuterebbe anche ricordare la definizione di algebra semisemplice.

Sì; Martino, hai ragione, pensavo dovesse dimostrare la versione più forte. Non ho letto la tua risposta, se riesco a farlo da me e arrivo alla stessa soluzione te lo dico.

Dissonance, se \(\mathcal{A}\) è una categoria con un oggetto zero, un oggetto \(A\in\mathcal A\) si dice semplice se 1. non è lui stesso zero e 2. Non ha quozienti non banali. Esempi: un gruppo semplice, una rappresentazione lineare irriducibile di un gruppo, uno spazio vettoriale di dimensione 1, un insieme con due elementi, negli insiemi puntati finiti...
In effetti, spesso (quasi sempre), la definizione di semplice è equivalente al non avere sotto-oggetti non banali.

Quando \(\mathcal A\) ha somme dirette, un oggetto è semisemplice se è coprodotto di semplici; ciò significa che per ogni \(X\in \mathcal A\) esiste una famiglia di oggetti semplici \(A_i, i\in I\) tale che \(X\cong \sum_{i\in I}A_i\).

Per un'algebra di Lie \(\mathfrak g\) va chiesto (credo per motivi tecnici) che \(\mathfrak g\) non sia abeliana, oltre a che non abbia ideali (un ideale in un'algebra è precisamente una sottostruttura) non banali.

Ora: \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice, e coincide con lo spazio delle matrici \(2\times 2\) a traccia nulla. La prima cosa implica che \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)] = \mathfrak{sl}(2)\), e quindi ogni matrice a traccia nulla è il commutatore di qualcuno (di matrici che si possono scegliere a traccia nulla).