Traccia e commutatori

[Martino]

La prima cosa implica che \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)] = \mathfrak{sl}(2)\), e quindi ogni matrice a traccia nulla è il commutatore di qualcuno (di matrici che si possono scegliere a traccia nulla).

Puoi ricordarmi cosa indica \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)]\) ? Credo sia l'ideale generato dai commutatori, e non l'insieme dei commutatori. Se è così il fatto che sl(2) è semisemplice non implica che ogni suo elemento è un commutatore, o sbaglio?

[solaàl]

Sì, è l'ideale generato dai commutatori; questo dimostra che ogni matrice a traccia nulla è combinazione lineare di commutatori.

[dissonance]

Bisognerebbe però vedere come si dimostra che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice. Immagino che sia grosso modo la stessa cosa che risolvere questo esercizio.

[solaàl]

No, si tratta di poche righe http://relaunch.hcm.uni-bonn.de/fileadm ... chap10.pdf

[Martino]

Bisognerebbe però vedere come si dimostra che \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice. Immagino che sia grosso modo la stessa cosa che risolvere questo esercizio.

No perché $sl2$ contiene matrici $2 xx 2$, mentre l'esercizio proposto dall'OP riguarda matrici $n xx n$ con $n$ qualsiasi.

[Martino]

Siccome vedo che la questione originale è caduta nel vuoto (perché se uno sa già che $sl(n)$ è semisemplice allora l'argomento diventa un po' del tipo "è vero perché è vero"), vorrei almeno rispondere alla domanda con qualche dettaglio

“Sia $ mathbb(K) $ un campo di caratteristica zero. Dimostrare che una matrice quadrata a coefficienti in $ mathbb(K) $ ha traccia nulla se e solo se la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA.”

Sia $A$ una matrice $n xx n$ di traccia nulla. Indicando con $E(i,j)$ la matrice $n xx n$ che ha $1$ nella posizione $(i,j)$ e $0$ altrove abbiamo ovviamente che (gli indici nelle sommatorie vanno sempre da $1$ a $n$)

$A=sum_{i,j} a_{ij}E(i,j)$

dove $a_{ij}$ è l'elemento del campo $K$ che appare nella posizione $(i,j)$ della matrice $A$, e il fatto che $A$ ha traccia nulla si traduce nel fatto che

$sum_i a_{ii} = 0$

Ora, è chiaro che possiamo scrivere

$A = B+C$

dove

$B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$
$C=sum_i a_{ii}E(i,i)$

Siamo quindi ridotti a dimostrare che $B$ e $C$ sono combinazioni lineari di matrici del tipo $XY-YX$ (dove $X,Y$ sono matrici $n xx n$).

Cominciamo con $B$.

Siccome $B=sum_{i ne j} a_{ij}E(i,j)$ basta mostrare che le matrici $E(i,j)$, dove $i ne j$, sono del tipo $XY-YX$, ma questo segue dall'identità (facile da dimostrare)

$E(i,j)=E(i,j)E(j,j)-E(j,j)E(i,j)$

(che - ATTENZIONE - è falsa se $i=j$).

Se qualcuno avesse dubbi su come si mostra questa identità ricordo che:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Indicando con $X_{rs}$ la componente $(r,s)$ della matrice $X$, si ha in generale che

$(XY)_{rs}=sum_k X_{rk} Y_{ks}$

e quindi

$(E(i,j)E(j,j))_{rs} = sum_k E(i,j)_{rk} E(j,j)_{ks}$

ovviamente vale $1$ se e solo se $r=i$, $k=j=s$, altrimenti vale $0$, segue quindi che

$E(i,j)E(j,j)=E(i,j)$

Inoltre

$(E(j,j)E(i,j))_{rs} = sum_k E(j,j)_{rk} E(i,j)_{ks}$

ovviamente vale $0$ a meno che non sia $r=k=j$ e $i=k$, $j=s$, da cui $i=j$, cosa falsa per ipotesi. Quindi

$E(j,j)E(i,j)=0$

Questo prova l'identità enunciata.

Ora passiamo a $C$.

Qui abbiamo $C=sum_i a_{ii}E(i,i)$ ma stavolta abbiamo una condizione sui coefficienti, $sum_i a_{ii}=0$, cioè \( \displaystyle a_{nn}=-\sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} \) . Segue che

$C=sum_{i=1}^{n-1} a_{ii} (E(i,i)-E(n,n))$.

Siamo quindi ridotti a mostrare che le matrici $E(i,i)-E(j,j)$ sono del tipo $XY-YX$.

Questo segue immediatamente dal fatto che

$E(i,j)E(j,i)=E(i,i)$

(che si dimostra usando il procedimento indicato nello spoiler sopra)

da cui segue che

$E(i,i)-E(j,j) = E(i,j)E(j,i)-E(j,i)E(i,j)$

Non ho usato da nessuna parte che $K$ ha caratteristica zero, quindi l'ipotesi "$K$ ha caratteristica zero" è superflua.

[dissonance]

se uno sa già che \(\mathfrak{sl}(n)\) è semisemplice allora l'argomento diventa un po' del tipo "è vero perché è vero"

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Infatti, mi interessavo alla questione proprio per questo motivo. Come dicevo di recente in un altro post, da studente ero un grande fan degli argomenti soft, eleganti e senza calcoli. Oggi penso che questo genere di argomenti è eccellente durante un seminario o una lezione, perché cattura l'attenzione del pubblico, ma che nella pratica è spesso più efficiente fare conti.