Dimostrazione legame dipendenza e determinante

[Lorenzo_99]

Buonasera, c'è un teorema che stabilisce che $A_1,...,A_n$ sono dipendenti se e solo se $det(A_1,...,A_n)=0$.
Leggendo la dimostrazione del professore sulla condizione sufficiente, dopo aver detto che $A_1,...,A_n$, essendo indipendenti (per assurdo), sono una base di $\RR^n$ ed aver utilizzato la linearità rispetto alle colonne del determinante, si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein). A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono nulli o perchè $i_h$ e $i_k$ coincidono, e dunque due colonne sono uguali, oppure sono tutti distinti, ed allora le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$".
Ma cosa significa che $i_h$ e $i_k$ coincidono e che le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$?? So che se due colonne sono uguali il determinante è $0$ oppure che possono essere scambiate due colonne, ma non capisco cosa vogliano dire in questo contesto.

Inoltre aggiunge "Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)$ (numero di scambi) $det(A_1,...,A_n)=0$". Ma cosa significa?? Perchè quel $-1$? Perchè ripete due volte $det(A_1,...,A_n)=0$"?

[Lorenzo_99]

Perdonami, ma da alcuni messaggi di altri sembra che chiedere chiarimenti direttamente al prof sia come dichiarare guerra, sfidare un mostro, o magari arrendersi a una disfatta tale che nemmeno i giapponesi a Okinawa. Mentre è la cosa più normale del mondo, è quello che i prof si aspettano e apprezzano. A parte il fatto che se sono lì è perché a loro la matematica piace anche più che a te (e cosa c'è di meglio che parlare di un argomento che piace?), una lezione non è uno sproloquio estemporaneo, va preparata, e ricevere un feedback è molto gradito. Hanno un orario di ricevimento che si riduce a noia se nessuno chiede di essere ricevuto e sono ben contenti di non annoiarsi. Ti dirò di più: rispondono perfino alle email!
Insomma, visto che qui si tratta proprio di quello che il prof ha detto a lezione, dell'impostazione che ha scelto di dare alla dimostrazione, cosa c'è di più normale che chiedere a lui? Oltre a imparare la matematica, si dovrebbe anche imparare a stabilire un dialogo con i docenti. Si impara più parlando insieme che seguendo passivamente una lezione.

Mai stato un problema, tuttavia questo teorema credevo di averlo capito fino a ieri ma non è così. E dato che l'esame è tra 2 giorni e il professore non dà ricevimenti/chiarimenti fino al termine devo chiedere qui...

Premesso questo, è un teorema ben noto, credo di aver capito (più o meno) i tuoi dubbi, probabilmente ci sono qui altri in grado di rispondere subito senza esitazioni, ma io dovrei chiederti qualcosa, in particolare:

si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein)

Quale convenzione? Io conosco la convenzione di Einstein per le sommatorie, ma se anche fosse si scriverebbe diversamente.

È proprio quella sulle sommatorie (che permette di ometterle), lui la scrive così...

A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono nulli

.
Quale secondo membro? In quello che hai scritto mi pare di vedere solo un determinante.

L'intero "passaggio" sarebbe (con $e_1,...,e_n$ base canonica) $1=det(e_1,...,e_n) = det(a_{1_{i_1}}A_{i_1},a_{2_{i_2}}A_{i_2},...,a_{n_{i_n}}A_{i_n}) = a_{1_{i_1}}det(A_{i_1},a_{2_{i_2}}A_{i_2},...,a_{n_{i_n}}A_{i_n}) =...=$ $a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$
A questo punto parla di secondo membro ed ho il tuo stesso dubbio...immagino si riferisca semplicemente a "$det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$".

Inoltre aggiunge "Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)$ (numero di scambi) $det(A_1,...,A_n)=0$". Ma cosa significa?? Perchè quel $-1$? Perchè ripete due volte $det(A_1,...,A_n)=0$?

Questa mi pare più facile: scambiando due righe o colonne il determinante cambia di segno.
Se $A$ è la matrice data e $A'$ e una matrice ottenuta attraverso $n$ scambi, $det(A')=(-1)^n det(A)$ e se $det(A')=0$ anche $det(A)=0$.

Il problema è che qui gli scambi non credo debbano esserci...le colonne $(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ dovrebbero essere le stesse date all'inizio, nessuno dovrebbe averle scambiate di posto, quindi perchè adesso dovrei farlo se già sono a posto? Se so che $det(A_1,...,A_n)=0$ anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ dovrebbe essere $= 0$ essendo identiche.

[Lorenzo_99]

Riporto tutta la dimostrazione in modo da evitare fraintendimenti e cerco di riesprimere i miei dubbi in maniera più chiara.
Teorema: "Condizione necessaria e sufficiente perchè $A_1,...,A_n$ siano dipendenti è che $det(A_1,...,A_n)=0$".

Dimostrazione riscritta testualmente della condizione sufficiente ($det(A_1,...,A_n)=0 \Rightarrow A_1,...,A_n$ dipendenti):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponiamo che $det(A_1,...,A_n)=0$ e che $A_1,...,A_n$ siano indipendenti, per assurdo.
Se $A_1,...,A_n$ sono indipendenti, sono una base di $\RR^n$ (teorema dei generatori), dunque $e_h=$ \( \sum^{n}_{i_h=1} \)$\alpha_{h_{i_h}}A_{i_h}=$(per convenzione Einstein) $\alpha_{h_{i_h}}A_{i_h}$ da cui $1=det(e_1,...,e_n)=det(\alpha_{1_{i_1}}A_{i_1},\alpha_{2_{i_2}}A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=\alpha_{1_{i_1}}det(A_{i_1},\alpha_{2_{i_2}}A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,\alpha_{n_{i_n}}A_{i_n})=...=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}...\alpha_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ ove nelle sommatorie sugli indici ripetuti $i_1, i_2, ..., i_n$ (non indicate per la convenzione di Einstein) essi assumono tutti i valori tra $1$ ed $n$. Tutti i determinanti a secondo membro sono nulli: o due indici $i_h$ e $i_k$ coincidono, e dunque due colonne sono uguali, oppure sono tutti distinti, ed allora le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$. Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)^(n. scambi) det(A_1,...,A_n)=0$.
Da $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=0 \forall i_1,...,i_n \in 1...n$ segue dunque l'assurdo $1=\alpha_{1_{i_1}}\alpha_{2_{i_2}}...\alpha_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=0$.

Dubbi:
Fino all'utilizzo della linearità rispetto alle colonne che permette di portare fuori gli $\alpha_{h_{i_h}}$ non ho problemi. Nel momento in cui vengono spiegate le ragioni per cui i determinanti a secondo membro (che non ho capito ancora quali siano) sono nulli mi perdo: come fanno gli indici $i_h$ e $i_k$ a coincidere? O meglio, cosa significa che coincidono?? Cosa significa che sono tutti distinti? Dato che le colonne $A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n}$ non sono mai state toccate (permutate) dovrebbero essere identiche a quelle iniziali $A_1,...,A_n$ che, essendo indipendenti per ipotesi, 1) non possono essere uguali 2) non c'è bisogno di permutarle per ottenere $A_1,...,A_n$, visto che già sono quest'ultime.

[solaàl]

Fai la stessa dimostrazione per una generica matrice 2x2. Se te la senti, anche per una 3x3. Cosa succede ti sarà chiaro, il resto è solo avere inventato una notazione che lo spiega.

[Lorenzo_99]

$((1),(0))=-2((1),(2))+3/2((2),(4))$

Avrei da ridire su questa uguaglianza, ma comunque ho capito

Mi sembra una dimostrazione davvero cervellotica

In realtà non troppo. Bastava fare un esempio banale come questo che hai appena scritto e chiunque avrebbe capito.
Grazie, anche a @solaàl

[solaàl]

Io intendevo proprio fare il conto con una matrice 2x2 generica, ossia prendere \(A = \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix} \right)\) e rifare la stessa dimostrazione;

Se vuoi usare lo stesso argomento ma non perderti nelle sommatorie, che effettivamente sono noiose, supponi che \(\det A\) sia zero ma che le colonne di $A$ siano una base; allora riesci a scrivere \(e_1, e_2\) come combinazione lineare di $(a,c)$ e $(b,d)$, diciamo \(A=DE\) se $A$ è la tua matrice, $D$ il cambio di base, $E$ la matrice identica, o meglio ancora $AD^{-1}=E$; usa il teorema di Binet, e il fatto che \(\det E=1\) assieme all'ipotesi ce \(\det A =0\) ti dà un assurdo.

[solaàl]

Chiaro, sintetico, elegante, per niente cervellotico

Me lo dicessero quando faccio qualcosa di più raffinato di un determinante!