Disuguaglianza triangolare

[Lorenzo_99]

Buonasera, vorrei dimostrare la disuguaglianza triangolare sfruttando l'equivalenza con quella di Schwartz.
$|u + v| ≤ |u| + |v|$
$|u + v|^2 ≤ (|u| + |v|)^2$
$|u|^2 + 2uv + |v|^2 ≤ |u|^2 + 2|u||v| + |v|^2$
$uv ≤ |u||v|$
E ripetendo il ragionamento con $-v$ al posto di $v$ ottengo $−uv ≤ |u||v|$ da cui, sfruttando la definizione di valore assoluto, arrivo alla disuguaglianza di Schwartz $|uv| ≤ |u||v|$.

A questo punto dimostro Schwartz con la proiezione di un vettore su di un altro o con una qualsiasi delle altre dimostrazioni disponibili.
La triangolare, a questo punto, può dirsi dimostrata? Oppure essendo partito dalla triangolare stessa, che non è verificata, non va bene?

[Lorenzo_99]

A me sembra che se vuoi dimostrare la disuguaglianza triangolare sfruttando l'equivalenza con quella di Schwartz devi partire da Schwartz per arrivare alla triangolare, non viceversa.

$|x+y|^2=(x+y)(x+y)=|x|^2+2xy+|y|^2<=|x|^2+2|x||y|+|y|^2=(|x|+|y|)^2$ ma, in questo passaggio $|x|^2+2xy+|y|^2<=|x|^2+2|x||y|+|y|^2$, chi mi dice che $xy>=0$ e che quindi possa utilizzare Schwartz?

Inoltre, nel caso dei complessi, diventa $|x+y|^2=(x+y)(x+y)=|x|^2+2Re(xy)+|y|^2<=|x|^2+2|xy|+|y|^2<=|x|^2+2|x||y|+|y|^2=(|x|+|y|)^2$
ma da cosa posso dire che $|x|^2+2Re(xy)+|y|^2<=|x|^2+2|xy|+|y|^2$? Nei complessi il $>=$ e il $<=$ non è definito, dunque come faccio a dire che un numero $a \in \RR <= a + (b \in \CC$)?
Ed infine, anche qui, come nel caso reale, chi mi dice che $xy>=0$ e che quindi possa utilizzare Schwartz?

[gugo82]

Beh, $x*y <= |x*y| <= |x|*|y|$…

[dissonance]

Comunque si scrive Schwarz. Schwartz è un altro

[Lorenzo_99]

Comunque si scrive Schwarz. Schwartz è un altro

Nelle dispense ci ha sempre messo la t, sul registro l'ha sempre omessa...mistero

[dissonance]

No, nessun mistero, te lo dico io. Schwarz senza t era un tedesco del secolo XIX:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz

Schwartz con la t era un francese del secolo scorso:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_Schwartz

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è del primo.