Applicazione lineare: diagonalizzabilità di una matrice

[Husky64]

Sia data l'applicazione lineare f: $ R^3\RightarrowR^3 $ definita da f: $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 0 ) )*( ( x ),( y ),( z ) ) $
Calcolare gli autovalori di f e, per ciascuno di essi, determinare molteplicità algebrica e geometrica. Dire se f è diagonalizzabile ed, in caso affermativo, esibire una base di $ R^3 $ diagonalizzante per f. Calcolareuna base del nucleo e dell'immagine di f. Dire infine se il vettore $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartiene al nucleo ed all'immagine di f.

Buongiorno, vorrei sapere tutti i passaggi di quest'applicazione lineare nello specifico. Sono arrivato fino al calcolo degli autovalori, ma quello che mi blocca è il passaggio che segue perché si dovrebbe ottenere una nuova matrice e non riesco a capire come. Grazie in anticipo.

[Husky64]

Unico autovalore $ \lambda=0 $ di molteplicità algebrica=1
Il prossimo passaggio è verificare le condizioni:
1)M.A. $ (\lambda) $ = ordine della matrice
2)M.A. $ (\lambda) $ = M.G. $ (\lambda) $ M.G.(molteplicità geometrica)
Ecco da qui in poi non so come muovermi e la matrice cambia, ma non riesco capire in che modo. Questa nuova matrice dovrebbe servirmi a verificarmi queste due condizioni.

[Husky64]

Ho insistito con la matrice perché in un esercitazione l'esercizio continuava nello sviluppo di questa matrice. Comunque, può darsi che mi sia confuso, dunque l'esercizio finisce qui? Devo solo scrivere che f non è diagonalizzabile?

[Husky64]

Si, me ne rendo conto... ho scritto una stupidaggine. Per trovare il nucleo e l'immagine e dire se appartiene al vettore come devo procedere?

[Husky64]

La ringrazio