Ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio,svolto in sede di esame,che recita:
Sia $ V $ lo spazio delle funzioni reali a una variabile reale.
Sia $ U $ lo spazio generato da $ 1,x,senx $
A) Determinare una base per $ U $.
B) Determinare se $ U $ è isomorfo o meno ad $ S $ e giustificare la risposta.
$ S $ è il sottospazio delle matrici simmetriche di $ M_2(R) $
A) Ho provato anzitutto a fare qualche considerazione:
se diciamo $ n $ il numero finito e naturale di funzioni "elementari",allora $ V $ dovrebbe essere isomorfo ad $ R^n $.
Qui mi sorge un dubbio,è possibile fare questa considerazione?Si può dire che sono finite?
Il testo mi lasciava il dubbio che per $ V $si intendesse lo spazio delle funzioni $ 1,x,senx $ e non tutte quelle possibili: in quel caso $ U $ e $ V $ non coinciderebbero? E comunque,visto che posso ordinarle arbitrariamente,non si giungerebbe comunque allo stesso risultato?
Fatto sta che considerando il caso n-finito ho considerato l'isomorfismo con $ R^n $ e quindi una base per $ U $ sarebbe composta da 3 elementi della base canonica di $ R^n $ . Fissato l'ordinamento $ 1,x,senx $ allora:
$ e_1prime=(1,0,0,.,...)$ vettore di n elementi
$ e_2prime=(0,1,0,.,.,.)$ vettore di n elementi
$ e_3prime=(0,0,1,.,.,.)$ vettore di n elementi
E quindi ho concluso che: $ U~= R^3 $
E' giusto? E in ogni caso,qual è il modo giusto di definire l'endomorfismo?
Qui ho considerato che avendo stessa base sono perfettamente coincidenti.
Equivalente proprio a :
$ e_1=(1,0,0,.,...) $
$ e_2=(0,x,0,.,.,.) $
$e_3=(0,0,senx,.,.,.) $
$ B_u={e_1,e_2,e_3} $
B)Il sottospazio $ Ssube M_2(R)= {A in M_2(R) : A^t=A) $
Quindi:
$ | ( a , b ),( c , d ) | = | ( a , c),( b , d ) | $
da cui ricavo b=c e quindi la base sarà:
$ B_S={( ( 1 ,0 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 ,0 ),( 0 , 1 ) ) ,( ( 0 ,1 ),( 1 , 0 ) ) } $
E so che $ M_2(R) $ è isomorfo naturalmente a $ R^4 $ e posso scrivere:
$ B_Sprime={(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,1,0)}= {e1,e4,(e2+e3)} $
Intuitivamente direi che i due spazi non sono isomorfi per questo motivo:
$ U~= R^3 $ mentre $ S~= R^4 $.
Qualcuno può dirmi se il ragionamento è corretto?
Non sono molto preparato sugli isomorfisimi,quindi potreste anche corregermi per eventuali strafalcioni "teorici"?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
