Esercizio sulle matrici

[ccc]

Ciao, devo risolvere questo esercizio:
Si considerino le seguenti matrici:
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
a) Calcolare gli autovalori e autospazi di B e C. Dire se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.
b) Al variare di a in R si determinino autovalori e autospazi di A. Per quali valori di a la matrice è diagonalizzabile?
c) Per quali valori del parametro A è simile a B?

Ho calcolato autovalori ed autospazi di B e C e per entrambi mi risultano gli autovalori 1, 1, 3 con la differenza che per C l'autovalore 1 ha molteplicità geometrica 2 mentre per B ha molteplicità geometrica 1. Ciò significa che le due matrici non rappresentano lo stesso endomorfismo?

Per il secondo punto ho calcolato il polinomio caratteristico di A ma esso non dipende da a, cosa devo fare? Perché così mi risulta che A non sia diagonalizzabile per alcun valore di a.

Per risolvere il terzo punto devo invece trovare un valore di a per il quale il determinante, gli autovalori e la molteplicità geometrica di essi siano uguali per entrambe le matrici, giusto?

[ccc]

Punto a: è giusto, ma perché?

Perché non sono simili quindi non possono rappresentare lo stesso endomorfismo

Punto b: se il polinomio caratteristico non dipende da $a$ pazienza... La diagonalizzabilità della matrice sì: che dimensione ha \(\ker (A-I_3)\)?

Credo 1 ma non sono sicura. Non riesco a capire

Punto c: no, quando si dice che due matrici sono simili?

Penso di dover costruire una matrice diagonale D tale che AD=DB dove D ha sulla diagonale gli autovalori di B e risolvere tale equazione, giusto?