Esercizio su spazio affine

[Satoshi00]

Buonasera ho una domanda su questo esercizio:
In $V3R$ Sia $S = Af(P0, P1, P2, P3)$ dove $P0=(0,0,0,0,1) P1=(1,1,1,0,1) P2=(0,1,1,1,0) P3=(1,2,2,1,0)$
e sia $S0$ la direzione di $S$. Le coordinate si intendono date rispetto alla base dei versori.

1) Calcolare $dim(S)$: Essendo $dim(S)=dim(S0)$ prendo $P0$ come punto d'appoggio e poi noto che $P3$ è
combinazione lineare degli altri due vettori così dico che la dimensione è 2.

2) Indicare una base algebrica di $S0$: Basta prendere i vettori $P1-P0$ e $P2-P0$.

3) Indicare una base geometrica di $S$: Qui ho preso la base di $S0$ e ho sommato $P0$ ottenendo così
${P0,P1,P2}$.

4) Descrivere il punto generico di S. Qui non sono sicuro ma ho provato scrivendo così: un generico punto $Q$ di $S$ è: $(0,0,0,0,1)+t(1,1,1,0,1)+s(0,1,1,1,0)$ quindi verrebbe: $Q = ((t,t+s,t+s,s,t+1): s,t ∈ R)$


5) Calcolare la dimensione del complemento ortogonale della direzione e fornire una rappresentazione
cartesiana: $S0'$. Sapendo che $S0$ e il suo complemento ortogonale sono in somma diretta posso dire
che la dimensione è 3. Per le equazioni della cartesiana ho preso i vettori di $S0$ e li ho messi a prodotto
scalare = 0 con dei generici vettori ottenendo così $x1+x2+x3=0$ e $x2+x3+x5-x5=0$

6) Trovare l'intersezione tra $S$ e $S0'$ Qui ho trovato una rappresentazione cartesiana di $S$ per poi
mettere le 5 equazioni a sistema e trovare il punto: $(-2/8,1/8,1/8,3/8,5/8)$ Il procedimento credo sia
giusto.

7) Calcolare la distanza tra $O$ e $S$. Qui non sono sicuro di come procedere, è sufficiente fare la norma di
$S-O$?

8) E' vero che $dim(L(S))=1+dim(S)$? Questa domanda mi ha messo un po' in difficoltà: io so che uno spazio
affine generato da n vettori linearmente indipendenti ha dimensione n-1 e che uno spazio affine è lineare se
e solo se contiene l'origine, e in questo caso la sua dimensione è n. Però non sono sicuro di cosa significhi
fare lo span di un sottospazio affine: vuol dire fare lo span dei vettori di $S0$ traslati di $P0$ e in questo
caso la dimensione rimarrebbe la stessa oppure è la stessa cosa di $L(P0,P1,P2,P3)$?


Vi sarei molto grato se poteste risolvere i miei dubbi e mi scuso per la domanda infinitamente lunga.