Aiuto esercizio su distanza tra rette

[Aletzunny]

Data le rette

$r={x=1+t;y=2+t;z=1-t}$

$s={x=2+2k;y=-2+2k;z=-2k}$

Calcolare la distanza tra la retta $r$ e $s$

Ho provato a risolverlo cosi ma non sono sicuro della correttezza del procedimento.

$v_r=(1,1,-1)$ e $v_s=(2,2,-2)$ dunque sono parallele e posto $k=t$ nella $x$ delle rette si trova $t=-1$ e nella $y$ si trova $t=4$. Dunque $r$ e $s$ sono parallele e non coincidenti.

Prendo un generico punto $P$ della retta $r$ : per esempio $P(1,2,1)$
E calcolo il piano ortogonale a $r$ passante per $P$: dunque passera per $P$ e avrà vettore $v_r$.

Trovo l'intersezione tra il piano trovato e la retta $s$ e quindi trovo un punto $Q$.

Calcolo la distanza tra $P$ e $Q$.

È corretto?

Grazie

[Bokonon]

Siamo alle solite. Fallo!

[Aletzunny]

Siamo alle solite. Fallo!

L'ho fatto ma non avendo risultati non so se ho fatto giusto!
Mi interessa soprattutto capire se il ragionamento che ho fatto è corretto

[Bokonon]

A parte il misterioso vettore $v_r$, il ragionamento è ok. È uno possibili modi di risolvere il problema.
Ma tieni segreti i calcoli e quindi terrò segreta la soluzione.

[Aletzunny]

A parte il fatto che tu ti sia messo a dimostrare che due rette parallele non si intersecano e il misterioso vettore $v_r$, il ragionamento è ok. È uno possibili modi di risolvere il problema.
Ma tieni segreti i calcoli e quindi terrò segreta la soluzione.

I calcoli non li tengo segreti...siccome(spero almeno quelli di saperli fare!) Ci metto un secolo a scrivere tutti i calcoli qui, ho cercato di semplificare la questione e arrivare al sunto...

Comunque quello che volevo verificare è che le due rette parallele non fossero coincidenti...ho sbagliato a verificarlo cosi?

Inoltre il vettore $v_r$ è quello direzione della retta $r$ e mi serve da usare nella formula $ax +by +cz+d=0$ al posto di $a,b,c$ per trovare il piano perpendicolare a $r$...sbaglio?

[Bokonon]

La verifica era ok.
Il piano perpendicolare alle due rette parallele è esattamente quello che dici, ovvero il piano con coefficienti la direzione comune delle due rette.
Non è necessario fare passare questo piano per un punto speciale. Siamo in $RR^3$ qualsiasi piano interseca sempre le due rette, anche quello passante per l'origine.
Non cambia nulla.

Una volta trovate le due intersezioni e la distanza fra di esse, ovvero $5/3sqrt(6)$, rifai l'esercizio usando altri due metodi.

[Aletzunny]

Scusa mi sono perso un attimo!
Quindi al posto che calcolare il punto $P$ avrei potuto far passare il piano per l'origine $O$ e dunque il piano sarebbe stato $ax+by+cz=0$ sempre con $v_r$?

[Bokonon]

Prova!
Sia facendolo passare il piano per l'origine che per un punto appartenente ad una retta o un punto qualsiasi.
Le due intersezioni saranno sempre la proiezione di una sull'altra.

Sono due rette parallele, la distanza è costante.

[Aletzunny]

Prova!
Sia facendolo passare il piano per l'origine che per un punto appartenente ad una retta o un punto qualsiasi.
Le due intersezioni saranno sempre la proiezione di una sull'altra.

Sono due rette parallele, la distanza è costante.

Provo... però ora che me lo hai spiegato in effetti si può anche immaginare