Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda -Cattleya- » 07/02/2020, 19:45

Buonasera a tutti avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
"In $ M_(2x2) $ si determinino, se esistono, un sistema $ S $ di generatori costituito da 5 vettori, e un
sistema libero $ S^' $ costituito da 5 vettori. In caso non sia possibile si giustifichi la risposta."
Io credo che non siano possibili entrambe poiché il sistema di generatori di uno spazio vettoriale, così come il sistema libero (costituito da vettori linearmente indipendenti(?))non può avere essere costituito da vettori in numero maggiore rispetto alle incognite dello spazio vettoriale stesso (in questo caso 4 perchè si tratta di una matrice 2x2).
È giusto il ragionamento oppure ho detto una madornale idiozia?
Grazie mille a tutti per la disponibilità.
-Cattleya-
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 4 di 26
Iscritto il: 27/01/2020, 18:46

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda marco2132k » 07/02/2020, 20:18

Puoi scrivere una matrice \( \bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\c & d\end{smallmatrix}\bigr)\) di \( \mathrm{M}_{2\times 2}(K) \) come
\[
\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}
\] Nota che quelle matrici sono linearmente indipendenti.

E se \( S\subset T \) sono due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale, è \( \langle S\rangle\subset\langle T\rangle \). Quindi se hai in mano un generatore \( S \) dello spazio, per ottenerne uno con più elementi puoi buttare dentro al tuo generatore qualsiasi cosa. Il discorso è diverso se il tuo generatore è anche minimale, proprio per def.

-Cattleya- ha scritto:alle incognite dello spazio vettoriale stesso
Eh?
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 488 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda -Cattleya- » 08/02/2020, 18:32

L'unico sistema di generatori costituito da 5 vettori che mi viene in mente di scrivere per questo esercizio è il seguente:
$ {( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ),( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ),(( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ),( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) )} $
e, dato che sono tutte matrici linearmente indipendenti tra loro, credo valga anche come sistema libero. Va bene? Posso scriverne altri diversi da questo? Va bene effettivamente anche come sistema libero?

P.S. Scusate per la grande idiozia che ho detto. Intendevo dire che il sistema di generatori non potesse essere costituito da vettori in numero maggiore rispetto alla cardinalità della base ma, anche se a parole lo avessi espresso bene, sarebbe stato comunque un concetto sbagliato. Perdonatemi, non ho un buon rapporto con la geometria...
-Cattleya-
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 5 di 26
Iscritto il: 27/01/2020, 18:46

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda -Cattleya- » 09/02/2020, 13:08

A dire la verità fino ad oggi non avevo trovato da nessuna parte una definizione chiara di "insieme di vettori liberi". Adesso credo di averla trovata e mi è abbastanza chiara. Si tratta semplicemente di un sistema di vettori linearmente indipendenti tra loro e l'unica combinazione lineare di questi vettori che dà zero è quella con i coefficienti nulli, per questo non è possibile che il vettore nullo appartenga all'insieme di libero, poichè, in tal caso, sarebbe possibile avere zero al secondo membro anche con dei coefficienti non tutti nulli. Detto questo e ritornando all'esercizio, va bene come sistema di generatori quello che ho scritto prima? Per quanto riguarda l'insieme di vettori liberi, un insieme libero di $ M^(2x2) $ deve avere un numero di elementi minore o uguale a 4 per cui non è possibile costruire un insieme libero di 5 elementi, è giusto?
-Cattleya-
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 6 di 26
Iscritto il: 27/01/2020, 18:46

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda marco2132k » 09/02/2020, 13:54

Mi sa che quel "libero" riferito ad un insieme \( S \) di vettori linearmente indipendenti di uno spazio \( V \) viene dal fatto che lo spazio che \( S \) genera è libero su \( S \), nel senso che per ogni spazio \( W \) e per ogni funzione di insiemi \( S\to W \) (i.e., per ogni \( S \)-upla di vettori di \( W \)), esiste un'unica applicazione lineare \( \varphi\) dello spazio \( \langle S\rangle \) generato da \( S \) in \( W \) che fa commutare il diagramma
\xymatrix{S\ar[dr]\ar[r]^{\iota} & {\langle S\rangle}\ar@{..>}[d]^\varphi\\&W}

dove \( \iota \) è l'inclusione \( S\hookrightarrow V \) che mappa un vettore \( s_i\in S\) in se stesso. Le altre strutture algebriche libere che conosco io godono della stessa proprietà: che, moralmente, sono "libere" da relazioni non implicate dagli assiomi di struttura. Un modo carino per dire che tutti gli spazi vettoriali ammettono base è dire "tutti gli spazi sono liberi".

Sì, l'insieme che hai scritto va bene come generatore. Rileggi quello che ti ho scritto alla fine del mio primo post qui. Come giustamente dici, quell'insieme non può essere una base di \( \mathrm M_{2\times 2} \), sia perché c'ha lo zero, sia perché è un insieme di cinque vettori in uno spazio che, di fatto, ha una base di cardinalità più piccola.
^
|
Ho fatto tardi.
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 490 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda -Cattleya- » 09/02/2020, 20:35

marco2132k ha scritto:Sì, l'insieme che hai scritto va bene come generatore. Rileggi quello che ti ho scritto alla fine del mio primo post qui.

Si ho letto, praticamente, in base a quello che hai detto, nel sistema di generatori che ho scritto prima anzichè il vettore nullo posso scrivere come quinto vettore qualunque matrice $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $, giusto? Se il sistema di generatori è minimale è composto dal più piccolo numero di vettori che generano lo spazio e, per questo, non se ne può aggiungere un altro.

marco2132k ha scritto:Mi sa che quel "libero" riferito ad un insieme S di vettori linearmente indipendenti di uno spazio V viene dal fatto che lo spazio che S genera è libero su S, nel senso che per ogni spazio W e per ogni funzione di insiemi S→W (i.e., per ogni S-upla di vettori di W), esiste un'unica applicazione lineare φ dello spazio ⟨S⟩ generato da S in W che fa commutare il diagramma


dove ι è l'inclusione S↪V che mappa un vettore si∈S in se stesso. Le altre strutture algebriche libere che conosco io godono della stessa proprietà: che, moralmente, sono "libere" da relazioni non implicate dagli assiomi di struttura. Un modo carino per dire che tutti gli spazi vettoriali ammettono base è dire "tutti gli spazi sono liberi".

Ho capito che una base è un sistema libero di generatori ma, onestamente, non ho capito la differenza tra $ S-> W $ e $ \langle S\rangle \ -> W $
-Cattleya-
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 7 di 26
Iscritto il: 27/01/2020, 18:46

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda marco2132k » 09/02/2020, 22:23

-Cattleya- ha scritto:giusto?
Sì. Puoi anche metterne più di una.

-Cattleya- ha scritto:Se il sistema di generatori è minimale è composto dal più piccolo numero di vettori che generano lo spazio e, per questo, non se ne può aggiungere un altro.
Se vuoi, dimostra che se \( \mathscr S \) è la famiglia dei generatori di uno spazio vettoriale \( V \), un \( S\in\mathscr S \) è minimale [1] in \( \mathscr S \) se e solo se è anche composto da vettori linearmente indipendenti (quindi è un generatore, perché sta in \( \mathscr S \), anche linearmente indipendente - è una base). Poi inventati una caratterizzazione simile con "massimale" al posto di "minimale".

-Cattleya- ha scritto:non ho capito la differenza tra
Se non ti è ancora stato detto che cos'è un'applicazione lineare puoi pure ignorare quella roba lì.


[1] Se \( \mathscr F \) è una famiglia di insiemi, diciamo che \( X\in\mathscr F \) è minimale in \( \mathscr F \) rispetto alla relazione di inclusione di insiemi se, preso un insieme \( Y \) della famiglia, l'unico caso in cui si può dire che \( Y\subset X \) è quando \( Y = X \).
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 491 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Sistema di generatori e sistema libero

Messaggioda -Cattleya- » 10/02/2020, 02:10

marco2132k ha scritto:Se non ti è ancora stato detto che cos'è un'applicazione lineare puoi pure ignorare quella roba lì.

Sto studiando da sola e da un libro poco chiaro per cui mi perdo su alcune cose di cui non trovo definizioni chiare nè su altri libri nè sul web. Però forse ne sono venuta a capo.
Poiché $ \langle S\rangle $ è il più piccolo sottoinsieme di $ V $ contenente $ S $ i vettori contenuti in $ \langle S\rangle $ sono linearmente indipendenti poiché il più piccolo insieme di generatori di uno spazio vettoriale è minimale e un insieme minimale di generatori è composto da vettori linearmente indipendenti; quindi, alla fine, $ \langle S\rangle $ è libero su $ S $. Ho interpretato bene?

marco2132k ha scritto:Se vuoi, dimostra che se S è la famiglia dei generatori di uno spazio vettoriale V, un S∈S è minimale [1] in S se e solo se è anche composto da vettori linearmente indipendenti (quindi è un generatore, perché sta in S, anche linearmente indipendente - è una base). Poi inventati una caratterizzazione simile con "massimale" al posto di "minimale".


Se ad un sistema di generatori massimale composto da vettori linearmente indipendenti aggiungo un altro vettore, questo è linearmente dipendente dagli altri.
Un sistema di generatori minimale $ S $ è composto da vettori linearmente indipendenti e ho fatto delle prove con degli esempi (non so se possa andar bene dimostrarlo così ma mi è servito a chiarirmi un po' le idee) ma mi trovo che aggiungendo un nuovo vettore ad $ S $, qualunque esso sia, il sistema diventa linearmente dipendente e ciò mi ha portato a pensare che $ S $ fosse anche un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti (il che è ovvio perché si tratterebbe di una base).
-Cattleya-
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 26
Iscritto il: 27/01/2020, 18:46


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite