Come si trova la base di una matrice ortogonalmente diagonalizzabile?

[ccc]

Ciao, ho un piccolo dubbio riguardo l'utilizzo di Gram-Schmidt.
Se devo trovare la base di una matrice ortogonalmente diagonalizzabile (dopo aver verificato che la matrice lo sia) come devo procedere?
Il mio dubbio sta appunto nell'utilizzo del procedimento di Gram-Schmidt perché devo innanzitutto verificare che i vettori siano a due a due ortogonali e poi?
Grazie in anticipo a chi risponderà

[anto_zoolander]

1) trovi gli autovalori e gli autovettori corrispondenti(calcoli gli autospazi)
perchè? autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali

2) calcoli una base ortonormale dei vari autospazi
perchè? finisci per trovare una base di autovettori per il primo punto e al secondo punto "aggiusti il tiro" prendendo tra tutte le basi degli autospazi quelle che sono ortonormali.

onestamente non ho mai usato Schmidt per trovare basi ortonormali di autovettori
però se hai una matrice possiamo vederla assieme

[ccc]

La matrice in questione è
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
Gli autovalori sono 1,1 e -1 con autovalori rispettivamente $(1,1,0)$, $(0,0,1)$ e $(1,-1,0)$.
Sono a due a due ortogonali quindi non mi resta che normalizzarli.
È giusto fare $(1,1,0)/|(1,1,0)|$? Mi risulterebbe $(1/(√2),1/(√2),0)$. Questo per il primo vettore (giusto per fare l'esempio)