Compattezza spazio topologico

Messaggioda iGina » 08/02/2020, 17:12

Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di un piccolo aiuto per risolvere il seguente esercizio:

"Sia la $tau = { A sube RR : 0 inA} uu {O/}$ la topologia su $RR$.
Si dica se $(RR,\tau)$ è compatto."

Dalla definizione di compattezza deduco che se esiste un ricoprimento di $X$ dal quale non si può estrarre un sotto ricoprimento finito, allora $X$ non è compatto. Ad esempio $RR=uuu_{n in NN}(-n,n)$, ma non posso estrarre un sotto ricoprimento finito. Quindi $(RR,\tau)$ dovrebbe essere non compatto. Giusto?

Avevo anche pensato di escludere la compattezza, perché $RR$ con la topologia euclidea non lo è. Però ho dei dubbi perché $tau-<=tau_e$, quindi non so se $(RR,tau_e)$ non compatto $=>(RR,tau)$ non compatto.
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Re: Compattezza spazio topologico

Messaggioda Martino » 08/02/2020, 18:03

iGina ha scritto:$tau-<=tau_e$
Questo è falso, per esempio l'intervallo $[-1,1]$ (estremi compresi) sta in $tau$ ma non sta in $tau_e$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Re: Compattezza spazio topologico

Messaggioda iGina » 08/02/2020, 19:37

@arnett Grazie mille! Cercando sul libro ho trovato la proposizione che dici tu. :)

@Martino Ah è vero! Quindi le due topologie non sono confrontabili, perché ad esempio $(0,1)$ sta in $tau_e$ ma non in $tau$. Grazie :)
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