Esercizio su rette e piani

Messaggioda ccc » 08/02/2020, 20:03

Ciao a tutti, ho svolto un esercizio di geometria e vorrei sapere se il procedimento è corretto. Mi servirebbe anche aiuto alla fine e nel secondo punto perché mi sono bloccata.
"Si considerino le rette
r1=\begin{array}{lcr} 2x-z=1 &\\ 2x+4y+z=3 & \end{array}
r2=\begin{array}{lcr} x=1 &\\ y-2z=3 & \end{array}
1) determinare la loro posizione reciproca
2) determinare, se possibile, una retta la passante per $(1,0,0)$ e ortogonale ad entrambe. È unica?
3) determinare nel piano π di equazioni $2x-3y-z=3$ una retta ortogonale a l e passante per $A=(0,0,-3)$
4) sul piano π (del punto 3), si considerino i punti A=(0,0,-3) e B=(1,-1,2). Determinare il terzo vertice C di un triangolo isoscele su π di base A e B e altezza 2. È unico?"

Salterò un po' di calcoli per abbreviare il testo.

1) trovo i vettori direzione di r1 e r2 (chiamiamoli v1 e v2). La matrice contenente v1 e v2 ha rango 2 quindi le due rette sono incidenti.

2) vettore direzione della retta ortogonale a v1 e v2: $v1xv2=(-20,-4,8)$. Trovo il piano contenente tale retta: $-20x-4y+8z+d=0$, impongo il passaggio per (1,0,0) ed ottengo $-5x-y+2z+5=0$. Come faccio ora a trovare la retta?
So che è unica in quanto passa per due punti (l'intersezione di r1 e r2 e il punto $(1,0,0)$).

3) vettore perpendicolare a π: $nπ=(2,-3,-1)$.
Trovo due punti appartenenti a l, ad esempio: $P=(0,0,-5/2)$ e $Q=(1,1,1/2)$.
Versore di l: $vl=Q-P=(1,1,3)$.
Dato che la retta (chiamiamola q) dev'essere ortogonale a l e contenuta in π, essa dev'essere ortogonale a vl e a nπ perciò $vq=vlxnπ=(10,7,-6)$.
La retta cercata (chiamiamola a) dev'essere parallela a vq e passante per A:
a=\begin{array}{lcr} x=10t &\\ y=7t &\\ z=-3-6t & \end{array}

4) punto medio di AB: $M=(A+B)/2=(1/2,-1/2,-1/2)$
Retta per AB:
p=\begin{array}{lcr} x=t &\\ y=t &\\ z=-3+5t & \end{array}
Quindi il versore di p è $vp=(1,1,5)$
Piano per M e perpendicolare a p: $x+y+5z+5/2=0$.
Qui mi sono bloccata. Sapreste dirmi come procedere?
Il vertice C non è unico in quanto esistono due punti su π che soddisfino le richieste dell'esercizio.
ccc
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