Equazione con numeri complessi

[Husky64]

Salve a tutti, devo risolvere la seguente equazione $ w^3=(sqrt3i+1)*e^\frac(ipi)(3)*w $
Ho ridotto tutto a forma esponenziale, moltiplicato i moduli e sommato gli argomenti. Riportando a forma algebrica ottengo $ w^3=-1+sqrt3i*w $. Da qui in poi vado un po' in crisi, quello che mi blocca è che c'è w al secondo membro, altrimenti procedevo facendo radice cubica del modulo e dividendo per 3 gli argomenti, o almeno credo sia giusto così, confermate? In che modo devo risolvere l'equazione? Potreste spiegarmi i passaggi?
Grazie

[axpgn]

Se non sbaglio, al secondo sembro non vedo somme quindi puoi dividere per $w$ (ovviamente dopo aver valutato cosa avviene nel caso $w=0$).
A quel punto estrai la radice quadrata.

[Husky64]

Quindi posso dividere anche w? Così ottengo $ w/3 $ con $ w\ne0 $
Ma la radice non è cubica? Perché diventa quadrata?

[Husky64]

Non riesco a capire perché devo dividere per w, perdonatemi, io questo tipo di equazione l'ho sempre risolto con il metodo che vi ho indicato nel primo messaggio, ma dove non c'era w al secondo membro.
Se w=0 e devo dividere per w allora l'equazione risulta impossibile.

[axpgn]

Prova a riflettere su quello che ti è stato detto, cerca di essere meno rigido
Se $w=0$ cosa succede? Non è difficile ...
Appurato cosa accade per $w=0$, vediamo cosa succede quando $w!=0$
In tal caso possiamo dividere tutto per $w$ e accade che a destra l'incognita sparisce e rimane solo un numero complesso e a sinistra rimane $w^2$ ovvero quel che rimane da fare è il calcolo della radice quadrata di un numero complesso.

Cordialmente, Alex

[Husky64]

Allora, intanto grazie mille per le risposte, ho svolto i calcoli quindi il numero complesso dovrebbe essere uguale a $ w=-\fracsqrt2(2)+i\fracsqrt6(2) $ . Spero sia giusto, mentre ragionando su w=0 allora l'equazione dovrebbe avere 0=0, quindi 0 come soluzione.

[axpgn]

Non ho fatto i conti ma sono dubbioso su quel risultato, però di sicuro la radice quadrata di un numero complesso ha due soluzioni non una ...

[Husky64]

Si, non avevo calcolato secondo $ \theta $ con k= n-1. Comunque l'altra soluzione mi dà $ w=-\fracsqrt2(2)-\fracsqrt6(2)i $ , che poi è il coniugato dell'altra soluzione.

[axpgn]

E sicuramente almeno una delle due è errata ...

[Husky64]

Non riesco a capire cosa c'è di sbagliato, ho eseguito tutti i passaggi correttamente e fatto i calcoli... Quanto dovrebbe dare?