V/F matrici reali di ordine 3

[kaspar]

Ciao . Ho un esercizio che si sviluppa in due vero/falso:

Siano \(A\) e \(B\) matrici reali di ordine \(3\) tali che \(A + BA = I\). Giudicare se sono veri o falsi i seguenti enunciati.

• Se \(A\) è diagonalizzabile, pure \(B\) lo è.
• Se \(A\) è ortogonale, allora \(B\) è normale.

Un'osservazione preliminare: per il teorema di Binet si ha \(\det(A + BA) = \det(B+I)\det A = 1\) e quindi \(\det A \ne 0\), ovvero \(A\) è invertibile.

Primo. Sia \(A\) è diagonalizzabile, ovvero simile ad una diagonale, che chiamerò \(\Delta\): esiste quindi una matrice quadrata \(3 \times 3\) invertibile \(P\) tale che \(A = P^{-1} \Delta P\). Pertanto \[
P^{-1} \Delta P + BP^{-1} \Delta P= P^{-1} P \iff B P^{-1} \Delta P = P^{-1}(I-\Delta) P.
\] Moltiplicando per \(P^{-1}\) a destra e \(P\) a sinistra, ho\[
P B P^{-1} \Delta = I - \Delta.
\] Ora per l'invertibilità di \(A\) si ha che pure \(\Delta\) è invertibile, e quindi \[
P B P^{-1} = \Delta^{-1} - I.
\] Inoltre l'inversa di una matrice diagonale è pur sempre una matrice diagonale. L'asserto pertanto mi sembra vero, visto che la differenza di matrici simmetrica è ancora una matrice simmetrica.

Secondo. Moltiplicando a destra per \({}^tA\) i membri di \((B+I)A = I\) ed assumendo che \(A{}^tA = {}^tAA = I\), si ha che \[
B+I = {}^tA \iff B = {}^tA-I.
\] Valutando \({}^tB B\) e \(B{}^tB\), ho che sono entrambe uguali a \(2I-A-{}^tA\), e qundi uguali. La matrice \(B\) è normale, e l'affermazione mi sembra vera anche in questo caso.

Può andare?

[Bokonon]

Si, è tutto corretto.
Nel primo caso possiamo persino affermare che B è diagonalizzabile ed avrà i medesimi autovettori di A ma collegati agli autovalori $1/lambda_i-1$ dove $lambda_i$ è il corrispondente autovalore di A.

[kaspar]

In effetti, sì, il primo esercizio poteva essere pure condotto in questo modo. Se \(A\) è diagonalizzabile, allora esiste una base \(\{v_1, v_2, v_3\} \subseteq \mathbb R^3\) per cui \[Av_i = \lambda_i v_i \quad\text{con }i \in \{1,2,3\}\] dove \(\lambda_i \in \mathbb R\) è l'(unico) autovalore associato a \(v_i\). Come ho fatto notare nel primo post, \(A\) è invertibile, quindi la funzione \(A- : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) è iniettiva: questo vuol dire che se \(v_i \ne \bf 0\), allora \(Av_i \ne \bf 0\), e pertanto \(\lambda_i \ne 0\). Ora \begin{align*}
&(A + BA)v_i = Iv_i = v_i \iff \\
&\lambda_i v_i + \lambda_i Bv_i = v_i \iff\\
&Bv_i = \left(\frac 1 \lambda_i -1\right)v_i.
\end{align*}
La matrice \(B\) è diagonalizzabile (con la stessa base).

Grazie mille.