Retta di un piano ortogonale e incidente un'altra retta

[DeltaEpsilon]

Determinare la retta del piano $\lambda : x+5z+2=0$ ortogonale e incidente la retta $r$ che passa per i punti $A(1,-1,-3)$, $B(0,0,-2)$

Ho ricavato $v(-1,1,1)$ vettore direzione di $r$

Il problema mi dice sostanzialmente che la retta che voglio trovare deve trovarsi nello stesso piano della retta $r$ e devono essere ortogonali fra loro


(fate finta che siano rette e non segmenti)

La mia idea è questa: siccome una retta è formata dall'intersezione di due piani, posso considerare uno dei due piani proprio $\lambda$ mentre il secondo è quello ortogonale a $r$ passante per il punto di intersezione



Il problema è che non posso ricavare il punto di intersezione dato che non conosco l'espressione della retta che voglio trovare.

Avendo quindi $-x+y+z+k=0$ fascio improprio di piani ortogonali a $r$ non posso stabilire per quale valore di $k$ ottengo il piano che voglio (nella figura il piano che cerco è quello azzurro, cioè $\lambda'$)

Dunque questo metodo non mi porta da nessuna parte. Qualche idea?

Grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

Un modo è il seguente

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1) Prendi un punto $P$, per esempio $(-2,0,0)$, del piano e calcoli la giacitura $<<w_1,w_2>>$

2) consideri che ogni retta del piano avrà un vettore direttore parallelo al piano, ossia $u=lambda_1w_1+lambda_2v_2$

3) dovendo essere la retta che stai cercando ortogonale alla retta di direzione $v=AB$ imponi che sia

$<<lambda_1w_1+lambda_2w_2|v>>=0$

Dovrebbe venirti qualcosa di proporzionale a $(-5,-6,1)$
Questo vettore rappresenta la direzione della retta incognita

4) un punto $X$ che sta sia nel piano che nella retta $r$ deve soddisfare, per qualche $a, b, c inRR$

${(av=AX), (bw_1+cw_2=PX):}$

Sfruttando le proprietà degli spazi affini

$av=AX=AP+PX=AP+bw_1+cw_2$

Ovvero $av=AP+bw_1+cw_2$

Ricavato il coefficiente $a inRR$ il punto di intetezione sarà proprio $X=A+av$ da cui la retta $X+<<u>>$.
Quindi ti dovresti veder spuntare $X=(-2,2,0)$

[Bokonon]

Ricavi le equazioni cartesiane della retta che passa per quei due punti e le metti a sistema col piano e ottieni il punto $(-2,2,0)$.
I vettori del piano sono tutti ortogonali al vettore $(1,0,5)$ quindi facendo il prodotto cartesiano fra esso e la direzione della retta $(-1,1,1)$ si ottiene una direzione del piano perpendicolare alla retta, ovvero $(5,6,-1)$.
La retta $k(5,6,-1)+(-2,2,0)$ è la soluzione.

[DeltaEpsilon]

Ricavi le equazioni cartesiane della retta che passa per quei due punti e le metti a sistema col piano e ottieni il punto $(-2,2,0)$.

Prima domanda: se una retta appartiene a un piano, non "condivide" con lei infiniti punti? Cosa rappresenta quell'unico punto?

In questo caso la retta che voglio trovare è $r'$ che appartiene a $\lambda$ e ortogonale e incidente $r$ quindi anche $r$ appartiene a $\lambda$

I vettori del piano sono tutti ortogonali al vettore $(1,0,5)$ quindi facendo il prodotto cartesiano fra esso e la direzione della retta $(-1,1,1)$ si ottiene una direzione del piano perpendicolare alla retta, ovvero $(5,6,-1)$.

Giusto, chiaro!

La retta $k(5,6,-1)+(-2,2,0)$ è la soluzione.

Ok, se passo in forma parametrica ho

${x = -2+5t$
${y = 2+6t$
${z = -t$

sostituendo $t=-z$

${x+5z+2=0$
${y+6z-2=0$

mentre la soluzione è

${x+5z+2=0$
${x-y-z+4=0$

[Bokonon]

Ovvio che se anche r appartenesse al piano ci sarebbero infinite rette che soddisfano il problema. Ma basta che uno solo dei punti dati non appartenga al piano (in questo caso entrambi) perer capire che r non gli appartiene.
Ergo il sistema da una e una soluzione in $RR^3$

[Bokonon]

Per la soluzione è evidente che è la stessa. Sottrai le due equazioni e ottieni quella del libro.

[DeltaEpsilon]

Ovvio che se anche r appartenesse al piano ci sarebbero infinite rette che soddisfano il problema.

Perchè non gli appartiene?

L'esercizio dice di determinare la retta del piano $\lambda$ incidente la retta $r$... ma incidente vuol dire anche che sono complanari... quindi anche $r$ dovrebbe appartenere a $\lambda$ mentre tu mi hai fatto cercare solo un punto (quello di intersezione)

Dov'è che mi sto ingarbugliando?

[Bokonon]

Sono complanari ma su un altro piano. Ma perché non leggi cosa scrivo? Hai provato a sostituire i due punti ne l piano? Come potrebbe un sistema dare una sola soluzione se r appartenesse al piano dato?

Eppure sei ancora persuaso che r stia sul piano. Boh

[DeltaEpsilon]

Non sono persuaso. E' mia abitudine chiedere sempre "perchè" perchè le cose voglio capirle. E' chiaro che il sistema ha un'unica soluzione, quindi è chiaro che r non appartiene a lambda, altrimenti avrebbe infinite soluzioni. E' solo che non riesco a immaginarlo (sia ora che ho la soluzione, sia prima quando dovevo effettivamente risolvere il problema)

Va bene, il risultato viene giusto... sono solo scemo io che voglio andare a fondo nelle cose

Grazie

[Bokonon]

Non sei affatto scemo a voler capire ma non puoi rifiutare l'evidenza.
Prendi un foglio (=il piano) e una penna (=la retta)..

Adagia la penna sul foglio. Quante rette del piano sono perpendicolari e incidenti la penna? Infinite

Metti la penna in piedi perpendicolarmente al foglio.
Ora penna e foglio condividono un solo punto ma quante rette ci sono sul piano perpendicolari alla penna e che passano per quel punto? Infinite.

Ora tieni la penna obliqua e avrai il problema di questo thread. Quante rette ci sono sul foglio che al contempo passino per il punto comune e che siano perpendicolari alla penna?