solaàl ha scritto:Ad \(f\) è associata una matrice (nella tua base preferita); scrivila, fanne il determinante; è diverso da zero; è un isomorfismo.
La rref di quella matrice è l'\( 1 \), credo che notare questo faccia perdere meno tempo (il determinante non serve più, dopo).
Scritta la matrice \( \alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f) \) di \( f \) nelle basi canoniche, si può anche fare riduzione di Gauss sulla matrice a blocchi
\[
\left(\alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f) | 1\right) =
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1/2 & 0 & \sqrt 3/2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-\sqrt 3/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right)
\] così, se non si incappa in vettori linearmente dipendenti, si ha subito l'inversa. Dato che \( f \) è iso, poi, (si dimostra subito che) trovare \( f_*(W) \) si riduce a determinare \( \left(f^{-1}\right)^*(W) \); credo sia più veloce per trovare l'equazione cartesiana dell'immagine.
Viene fuori che
\[
\alpha_{\mathcal E_3\mathcal E_3}(f)^{-1} =
\begin{pmatrix}
1/2 & 0 & -\sqrt 3/2\\
0 & 1 & 0\\
\sqrt 3/2 & 0 & 1/\sqrt 3\\
\end{pmatrix}
\] quindi dire chi è \( f_*(W) = (f^{-1})^*(W)\) richiede di trovare i vettori \( \left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right) \) del dominio di \( f \) per cui è \( f^{-1}\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)\in W \). Allora l'immagine di \( W \) è l'insieme
\[
f_*(W) = \left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}:(1 - \sqrt 3/2)x - y + (\sqrt3 / 2 + 1/\sqrt 3)z = 0 \right\}
\]
Puoi anche notare immediatamente che \( \left\{\Bigl(\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\Bigr),\Bigl(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\Bigr)\right\} \) è una base di \( W \) (buttando numeri a caso nella sua equazione, volendo ottenere
due vettori linearmente indipendenti) perché: 1) \( W \) è il nucleo del funzionale \( \phi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R \) che mappa \( \left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right)\mapsto x - y + z \), e da
\[
\operatorname{rk}\phi = \dim_{\mathbb R}\mathbb R^3 - \operatorname{nullity}\phi
\] dove \( \operatorname{rk}\phi := \dim_{\mathbb R}\operatorname{Im}\phi \) e \( \operatorname{nullity}\phi := \dim_{\mathbb R}\operatorname{Ker}\phi \), hai che necessariamente è \( \dim_{\mathbb R} W = 2 \) (nota che si vede subito che \( \operatorname{rk}\phi = 1 \), perché l'unica altra scelta possibile è \( \operatorname{rk}\phi = 0 \), che è falso); 2) quei vettori che ti ho dato sono linearmente indipendenti. Poi puoi procedere come ti è stato detto. Mi sa che questo è il modo più possibile rapido per p.ti 2) come questo.