dimostra che f è un applicazione lineare tramite le basi canoniche

[john_titor20]

Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
data l'applicazione \(\displaystyle f: (t, x, y, z)\in R^4 \rightarrow (t-x+y, t-y+z, x-y+z) \in R^3 \)
utilizzando le basi canoniche di $R^3$ e $R^4$ dimostrare che $f$ è un'applicazione lineare di spazi lineari.

So che dovrei utilizzare un teorema che mi garantisce che questo procedimento è corretto, ed avrei pensato al teorema fondamentale delle applicazioni lineari, solo che non riesco proprio a comprendere come risolverlo.
Grazie mille a chi mi risponderà

[j18eos]

@Sergio Infatti, è così banale che confonde... e lo dissi pure a lezione:

Voi studenti siete masochisti: gli esercizi facili non vi piacciono; li volete difficili!

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E per giunta all'esame orale sbagliano sempre l'enunziato del teorema fondamentale delle applicazioni lineari.

[Bokonon]

Usa la definizione.
Dimostra che $f(alphax+betay)=alphaf(x)+betaf(y)$

[j18eos]

[...]Non mi dire che l'esercizio è tuo e che era tutto lì... Se è così non vale, è una vera e propria trappola. [...] Se è roba tua, sei un sadico

L'ho spiegato diverse volte a lezione cosa intendevo chiedere con esercizi del genere e lo stesso si imbrogliano

Se ricapitasse in futuro, scriverò direttamente:"rappresentare tale applicazione \(\displaystyle f\) rispetto a delle basi; detta \(\displaystyle M\) la matrice trovata, verificare che \(\displaystyle f(\underline{v})=\underline{v}\times M\)."

L'idea è che il teorema da usare lavora solo nel caso lineare¹; ad esempio non lavora con la funzione \(\displaystyle f:t\in\mathbb{R}\to(t^2,t^3)\in\mathbb{R}^2\), perché per il teorema suddetto, da \(\displaystyle f(1)=(1,1)\) discenderebbe che \(\displaystyle f(2)=(2,2)\) ma in realtà \(\displaystyle f(2)=(4,8)\); quindi questa applicazione non può essere lineare perché viola il teorema.

Un'altra ragione: se dovessi studiare la linearità di una funzione da \(\displaystyle\mathbb{R}^N\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}^M\) con \(\displaystyle M,N\gg0\), questo teorema ci viene in soccorso perché dovremmo svolgere pochi calcoli, anziché uno sproposito...

...poi, in merito al sadismo, preparo gli esami scritti "tirando il freno a mano". E qui mi fermo.

@john_titor20 Chiaro il trucco?

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Note

1. Questo l'hanno capìto! ↑

[john_titor20]

Sì, grazie mille ancora a tutti, ed in particolare a lei @j18eos

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@j18eos mi scuso per il ritardo con cui ho risposto

[j18eos]

Prego, di nulla.

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Tranquillo!