Il differenziale $df(x)h$ è l'unica applicazione lineare per cui valga
$df(x) h =lim_(t->0)(f(x+th)-f(x))/t= (partialf(x)) /(partialh) $
Detto questo avendo $s(u, v) =(x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) $ e fissando le basi canoniche di $RR^2,RR^3$ quella applicazione lineare potrà essere rappresentata da una matrice, essa sarà proprio la jacobiana e si costruisce come al solito si costruiscono le matrici di applicazioni lineari.
$ds(u, v)hat(i) = (partial) /(partial u) (x(u, v) hat(i) +y(u, v) hat(j) +z(u, v) hat(k)) = (partialx) /(partialu)(u, v) hat(i) +(partialy) /(partialu)(u, v) hat(j) +(partialz) /(partialu) (u, v) hat(k) $
$ds(u, v)hat(j) = (partial) /(partial v) (x(u, v) hat(i) +y(u, v) hat(j) +z(u, v) hat(k)) = (partialx) /(partialv)(u, v) hat(i) +(partialy) /(partialv)(u, v) hat(j) +(partialz) /(partialv) (u, v) hat(k) $
Ovvero hai scritto le immagini dei vettori della prima base come combinazione lineare dei vettori della seconda base. A questo punto basta metterli in matrice per colonne
$J_s(u, v) =underbrace( [( (partialx) /(partialu) (u, v), (partialx) /(partial v) (u, v)), ((partialy) /(partialu) (u, v), (partialy) /(partial v) (u, v)) , ((partialz) /(partialu) (u, v), (partialz) /(partialv) (u, v))]) _(ds(u, v) hat(i) // ds(u, v) hat(j)) $