Trovare un sottospazio in somma diretta

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Ciao a tutti, non riesco a capire questo esercizio, potreste aiutarmi?
"Al variare di m si consideri il sottosapzio V di R^3 soluzione del sistema omogeneo associato
$x-my+2z=0
x-y+z=0
2x-2y+(m+3)z=0$
Per ogni valore di m si trovi un sottospazio $L+V=R^3$"(inteso come in somma diretta).

Ho messo a matrice il sistema, ridotto e ho trovato che l'unico valore per cui esistono infinite soluzione è $m=-1$ il quale, però, genera un solo autospazio: $<(-5,1,-2)>$.
Come devo proseguire?

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E come faccio poi a trovare il sottospazio richiesto dall'esercizio? Perché sia per m=1 che per m=-1 il sottospazio ha dimensione 1.
Cos'è, invece, V?

[Bokonon]

V è il kernel della matrice.
Per i valori di m per cui $dim(V)=0$, qualsiasi base di $RR^3$, inclusa la canonica, va bene per definire L.
Per i valori di m per cui $dim(V)!=0$, una comodissima base per L sono le righe indipendenti della matrice, ovvero lo spazio perpendicolare a V.