dissonance ha scritto:Questo esempio richiede di conoscere i fondamentali della misura di Lebesgue.
Sia \(X\) lo spazio delle funzioni misurabili di \([0, 1]\) in \([0, 1]\), munito della topologia prodotto; in particolare, una successione \(f_n\in X\) converge a \(f\in X\) se e solo se \(f_n(x)\to f(x)\) per ogni \(x\in [0, 1]\). Sia
\[
F\colon X\to \mathbb R, \qquad F(f):=\int_0^1 f(x)\, dx.\]
Questa funzione è continua per successioni per il teorema della convergenza dominata; infatti, se \(f_n\to f\), allora \(|f_n|\le 1\) per costruzione, e la funzione costante \(1\) è integrabile su \([0, 1]\). Ma \(F\) non può essere continua perché la sua restrizione ad ogni aperto di \(X\) è surgettiva.
Esempio tratto da qui:
https://math.stackexchange.com/a/54068/8157
Purtroppo la misura di Lebesgue la trattiamo questo semestre, quindi non ho capito veramente il tuo esempio.
j18eos ha scritto:\(\displaystyle\tau_{conum}\) è la topologia conumerabile.
\(\displaystyle\tau_{triv}\) è la topologia banale (trivial topology).
Okay allora mi torna il tuo esempio, grazie
