Funzioni continue e spazi topologici.

[3m0o]

Stavo cercando un po' per passatempo due spazi topologici \( (X,\tau_1 ) \) e \( (Y,\tau_2 ) \) e una funzione \( f: X \to Y \) tale che per ogni \( \forall x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \in X \) tale che \( x_n \to x \) abbiamo allora \( f(x_n) \to f(x) \) ma al contempo \( f \) è discontinua. Chiaramente almeno uno dei due spazi non dev'essere metrico, pensavo di usare la topologia indiscreta e rispettivamente quella discreta su \( \mathbb{R} =X=Y\) e l'identità. Abbiamo che l'identità è discontinua, però per ogni \( x \) di \( \mathbb{R} \) con la topologia indiscreta abbiamo che ogni successione converge a \( x \), e quindi non non abbiamo la condizione che \( f(x_n)=x_n \to f(x)=x \) nella discreta per ogni successione tale che \( (x_n) \to x \) nella indiscreta. Che topologie potrei utilizzare?

Al contempo mi domandavo se esiste una funziona e due spazi topologici tale che \( f \) è continua ma esiste \( x_0 \in X \) tale che \( \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) \).
Pensavo in questo caso di utilizzare \( f: ( \mathbb{R}, \tau_{E} ) \to ( \mathbb{R}, \tau) \) dove \( \tau_E \) è la topologia euclidea mentre \( \tau \) è la topologia delle semirette ovvero \( \tau := \{ \emptyset, \mathbb{R} \} \cup \{ R_y : y \in \mathbb{R} \} \) dove \( R_y := \{ x >y \} \), e la funzione \( f(x) = x^2 \)
Abbiamo infatti che \( \lim_{x \to 0 } x^2 = k \), \( \forall k \in \mathbb{R}_- \) e abbiamo che \( f(0)=0 \)
e credo che \( x^2 \) sia continua. Alternativamente anche qui credo vada bene l'identità \( f(x) = x \).

Ma non sono sicuro che sia corretto, anche perché so che l'implicazione inversa della mia domanda precedente è vera. Ovvero se \( f \) continua su \(X \) allora per ogni \( x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \) tale che \( x_n \to x \), allora \( f(x_n) \to f(x) \).
Pertanto se esiste un \(x_0 \) tale che \(f \) continua in \(x_0 \) e \( \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0 ) \) implica che \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) \), per ogni successione \((x_n) \) tale che \( x_n \to x_0 \), il che mi sembra strano.

[j18eos]

A occhio direi \(\displaystyle Id_{\mathbb{R}}:(\mathbb{R},\tau_{conum})\to(\mathbb{R},\tau_{triv})\); in entrambi i casi, le successioni convergenti sono tutte e sole le successioni definitivamente costanti, e (rispetto a queste topologie) \(\displaystyle Id_{\mathbb{R}}\) non è continua.

Ti torna?

[otta96]

La seconda cosa non può esistere perché se una funzione è continua in un punto, il limite della funzione per l'argomento che tende a quel punto è il valore della funzione nel punto.

[3m0o]

A occhio direi \(\displaystyle Id_{\mathbb{R}}:(\mathbb{R},\tau_{conum})\to(\mathbb{R},\tau_{triv})\); in entrambi i casi, le successioni convergenti sono tutte e sole le successioni definitivamente costanti, e (rispetto a queste topologie) \(\displaystyle Id_{\mathbb{R}}\) non è continua.

Ti torna?

Non ho capito cosa sono \( \tau_{conum} \) e \(\tau_{triv}\).

La seconda cosa non può esistere perché se una funzione è continua in un punto, il limite della funzione per l'argomento che tende a quel punto è il valore della funzione nel punto.

È vero in ogni spazio topologico? Sostanzialmente la mia domanda appunto era se quello che dici è vero solo per gli spazi metrici o per qualunque spazio topologico. Quindi \(x^2 \) e l'identità non sono continue come \(( \mathbb{R},\tau_E) \to ( \mathbb{R},\tau) \) definiti come sopra.

[j18eos]

\(\displaystyle\tau_{conum}\) è la topologia conumerabile.

\(\displaystyle\tau_{triv}\) è la topologia banale (trivial topology).

[otta96]

In effetti c'è bisogno che il codominio sia $T_2$.

[3m0o]

In effetti c'è bisogno che il codominio sia $T_2$.

È quello che sospettavo siccome è vero per ogni spazio topologico che se \( f \) continua su \( X \) allora per ogni \( x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \) tale che \( x_n \to x \), allora \( f(x_n) \to f(x) \). Quindi per ogni \((x_n) \) tale che \( x_n \to x_0 \) risulta che \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) \) e l'unico modo in cui \( \lim_{x \to x_0 } f(x) \neq f(x_0) \) è che il limite non è unico, e quindi se lo spazio è di Hausdorff sicuramente è falso quello che penso. Ma se il codominio non è di Hausdorff è vero che possiamo trovare una funziona e due spazi topologici tale che \( f \) è continua ma esiste \( x_0 \in X \) tale che \( \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) \)?
Il mio esempio funziona?

[dissonance]

Questo esempio richiede di conoscere i fondamentali della misura di Lebesgue.

Sia \(X\) lo spazio delle funzioni misurabili di \([0, 1]\) in \([0, 1]\), munito della topologia prodotto; in particolare, una successione \(f_n\in X\) converge a \(f\in X\) se e solo se \(f_n(x)\to f(x)\) per ogni \(x\in [0, 1]\). Sia
\[
F\colon X\to \mathbb R, \qquad F(f):=\int_0^1 f(x)\, dx.\]
Questa funzione è continua per successioni per il teorema della convergenza dominata; infatti, se \(f_n\to f\), allora \(|f_n|\le 1\) per costruzione, e la funzione costante \(1\) è integrabile su \([0, 1]\). Ma \(F\) non può essere continua perché la sua restrizione ad ogni aperto di \(X\) è surgettiva.

Esempio tratto da qui:
https://math.stackexchange.com/a/54068/8157

[otta96]

Bello.

[dissonance]

Si, anche a me piace molto, è un esempio naturale.