(1) Calcolare la segnatura della matrice \[B_t := \begin{pmatrix}
0 & 0 & -t & 0 \\
0 & t^2-1 & 0 & 0 \\
-t & 0 & -t & t \\
0 & 0 & t & -t
\end{pmatrix}\] al variare di \(t \in \mathbb R\).
(2) Dire per quali \(t\) esistono \(v \in \mathbb R^4\), \(v \ne 0\) tali che \(v^T B_t v = 0\).
(3) Dire se esistono dei valori di \(t\) per cui esiste un sottospazio \(U\) di \(\mathbb R^4\) di dimensione almeno \(2\) tale che \(v^T B_t w = 0\) per ogni \(v, w \in U\).
(1) Calcolo la segnatura usando il metodo di Jacobi (quello citato qui a pagina 59 in fondo). Pongo quindi \(a_0 = 1\), e calcolo i determinanti dei minori principali in ordine crescente di ordine. \begin{align*}
a_1 &:= \det (-t) = -t \\
a_2 &:= \det \begin{pmatrix} t^2-1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -t(t+1)(t-1) \\
a_3 &:= \det \begin{pmatrix} 0 & 0 & -t \\ 0 & t^2-1 & 0 \\ -t & 0 & -t \end{pmatrix} = -t^2(t+1)(t-1) \\
a_4 &:= \det B_t = t^3(t+1)(t-1)
\end{align*}
A meno di errori, facendo uno schemino che non riesco a replicare qui (tipo tabella dei segni e vedere quante volte cambia il segno passando da uno di questi determinanti al successivo) mi risulta che \(B_t\) ha segnaura
- \((2,2)\) se \(-1 < t <0\) oppure \(t > 1\)
- \((1,3)\) se \(0 < t < 1\)
- \((3,1)\) se \(t < -1\)
- \((0,1)\) se \(t = 0\)
- \((2,1)\) se \(t = 1\)
- \((3, 0)\) se \(t = -1\)
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Lo svolgimento dell'esercizio 1 è stato modificato (errore di segno da parte mia...). Comunque il metodo è stato mantenuto.
(2) Non sono sicuro, ma propongo il mio tentativo: i \(t\) per cui \(B_t\) ha nullità almeno \(1\) vanno bene, cioè \(0\), \(1\) e \(-1\). Ma sono solo questi? O ce ne sono altri?
(3) Questo non so proprio come farlo.
Comunque in corrispondenza di questi punti critici si possono calcolare velocemente autovalori con relativa segnatura: farò così.
