Ciao sergio
Il vettore $(1,3/2,3/2)$ è relativo ad un altro esempio, non rispetto al vettore $v$.
Ovvero la proiezione sul sottospazio $W = <(1,1,1),(1,2,2)>$
Inoltre il procedimento da te esposto è lo stesso metodo usato per dimostrare la formula generale della proiezione, quello che ho descritto sopra.