Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 14/02/2020, 21:10

Buongiorno a tutti.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso :oops: .

Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).

La domanda è: il valore della norma euclidea $||v||$ dipende dalla base $B$ scelta, vero?
Cioè ad esempio poniamo che stiamo considerando lo spazio vettoriale $\mathbb{R}$ su se stesso e prendiamo come sua base $B={b_1=5}$.
Dunque per esempio abbiamo che $||3||=|\frac{3}{5}|$ dato che $3=\frac{3}{5}b_1$.

So che è una cosa banale, ma non ci avevo mai pensato, visto che di solito si usa sempre la base canonica per $\mathbb{R}^n$.
Per $n$ che va a infinito siamo tutti morti.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 14/02/2020, 23:51

Su un qualunque libro di algebra lineare. Ad esempio il Marco Abate, pagina 281, definizione 12.13.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda axpgn » 15/02/2020, 00:09

Su "Geometria - Marco Abate" 1996 - 1^ ed. a pag.281 c'è questa definizione:

Definizione 12.13
Uno spazio metrico vettoriale reale o complesso è uno spazio vettoriale $V$ su $RR$ o su $CC$ provvisto di un prodotto scalare (o hermitiano nel caso complesso) $<*,*>$ definito positivo.
La norma $||*||$ : $V -> RR^+$ in questo spazio metrico vettoriale è definita da $||v|| = sqrt(<v,v>)$
La norma $||v||$ di un vettore $v$ si dice anche lunghezza di $v$.


EDIT: ooops, arrivato tardi :D
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:21

Quindi intendete dire che $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ non è una norma di $V$ spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{R}$??
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:25

Sono un po' perplesso...

$$\langle | \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ \mid \langle v|w \rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$$ è chiaramente un prodotto scalare definito positivo di $V$.

Dunque $$||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$$ è una norma indotta da tale prodotto scalare.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:37

In uno spazio vettoriale $V$ finito dimensionale sul campo $\mathbb{R}$ le componenti di un suo generico vettore $v \in V$ cosa sono? Io ho sempre saputo fossero i numerini $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ tali che $v=v_1b_1+...+v_nb_n$, dove $B={b_1,...,b_n}$ è una base di $V$. Quindi le componenti di un vettore $v \in V$ dipendono dalla base scelta. Oppure con componenti voi intendete qualcosa di diverso?
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 00:42

Vi allego il seguente link: https://www.youmath.it/lezioni/algebra- ... -base.html

Leggete le prime righe.

Beninteso, vi ringrazio moltissimo del vostro intervento, non vorrei avervi dato l'impressione di dare il vostro gentile aiuto come scontato.
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:02

Grazie mille del chiarimento. Si può dire allora che per definizione le componenti di un vettore sono le sue coordinate relative alla base canonica?

Il punto è che però in uno spazio vettoriale generico (non $\mathbb{R}^n$) le componenti di $v$ quali sono?
Cioè in uno spazio vettoriale che non è $\mathbb{R}^n$, e quindi $v$ non si può scrivere come una n-upla $(v_1,...,v_n)$, allora quali sono le componenti di $v$?

Grazie ancora :)
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:14

Quindi se ho la norma $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v \in V$ spazio vettoriale diverso da $\mathbb{R}^n$, allora $v_1,...,v_n$ cosa sono? Se come dici tu ha senso parlare di componenti solo in $\mathbb{R}^n$, allora per il mio $v \in V \ne \mathbb{R}^n$ non ha senso parlare di componenti, e quindi non posso nemmeno parlare di norma su $V \ne \mathbb{R}^n$?

Mi sta cadendo una certezza...
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Re: Norma euclidea

Messaggioda Leonardo97 » 15/02/2020, 01:50

Quindi non posso parlare di norma euclidea al di fuori di $\mathbb{R}^n$ poiché non starei più ragionando con n-uple che quindi hanno delle componenti?

Non penso sia cosi...

Guardiamo i seguenti fatti:

Sia $V$ un generico spazio vettoriale finito dimensionale (di dimensione $n$) sul campo $\mathbb{R}$. Sia $B={b_1,...,b_n}$ una sua generica base. ($V$ non è detto che sia $\mathbb{R}^n$, anzi facciamo che sia proprio diverso per nostra ipotesi).

STEP 1:Una funzione del tipo $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+$ che soddisfa le seguenti proprietà:

$1)\langle v|w \rangle=\langle w|v \rangle$, $2)\langle v+u|w \rangle=\langle v|w \rangle+\langle u|w \rangle$, $3)\langle \lambda v|w \rangle=\lambda \langle v|w \rangle$, $4)\langle v|v \rangle \ge 0$.

si dice un prodotto scalare definito positivo di $V$. (fin qui d'accordo?)

STEP 2:Ora $\langle \rangle : V \times V \to \mathbb{R}^+ | \langle v|w\rangle=v_1w_1+...+v_nw_n$ si verifica facilmente essere un prodotto scalare definito positivo di $V$, dove $v_1,...,v_n$ e $w_1,...,w_n$ sono rispettivamente le coordinate di $v \in V$ e $w \in V$ rispetto alla base $B$. ($\langle \rangle$ cosi definito è un prodotto scalare definito positivo di $V$ perché soddisfa le $1,2,3,4$)

STEP 3:Ora, la funzione $||.|| : V \to \mathbb{R}^+ | ||v||=\sqrt{\langle v|v \rangle}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ è quindi una norma di $V$ indotta dal sopra definito prodotto scalare definito positivo di $V$.
Ebbene, il valore $||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ DIPENDE dalla base $B$ scelta, dato che variando $B$ variano le $v_1,...,v_n$.

Quale STEP non ti convince?
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