Numeri complessi e matrici di rotazione

[Overflow94]

$ 1/z + 1/w = 1/(z+w) $

Descrivere tutte le soluzioni $ (z, w) $ con $ z,w in CC $.

L'esercizio fa parte di un'introduzione alla geometria complessa dove si è appena mostrato come un numero complesso $ a + ib $ si può rappresentare con la matrice di rotazione $ ( ( a , -b),( b , a ) ) $, quindi va risolto con un ragionamento geometrico o di algebra lineare su questo tipo di matrici.

[j18eos]

Inizia a calcolare quali sono le condizioni affinché tu abbia solo matrici invertibili!

[Overflow94]

$ ( ( a , -b ),( b , a ) ) $ è invertibile quando $ a^2 + b^2 !=0 $ , questo è vero sempre tranne quando $ a = b = 0 $.
L'inversa è $ ( ( a/(a^2 + b^2) , b/(a^2 + b^2) ),( -b/(a^2 + b^2) , a/(a^2 + b^2) ) ) $

Questo non mi dice nulla in più sapendo già che $ CC $ è un campo e tutti i suoi elementi tranne $ 0 $ hanno un inverso.

[solaàl]

Sai che esiste una rappresentazione di $CC$ dentro \(M_2(\mathbb R)\), che è un isomorfismo di campi sull'insieme delle matrici che chiami "di rotazione" (ma non sono di rotazione... le matrici di rotazione sono quelle di quella forma, e con determinante 1, perché moltiplicare per un numero complesso $z$ di norma 1 significa ruotare di un angolo \(\theta\), l'unico \(\theta \in [0,2\pi[\) per cui \(z=e^{i\theta}\)).

Siccome in questa rappresentazione gli elementi invertibili devono andare in elementi invertibili, risolvere
\[
\frac{1}{z}+\frac{1}{w} = \frac{1}{z+w}
\] in $CC$ equivale a risolvere
\[
Z^{-1}+W^{-1} = (Z+W)^{-1}
\] Non so cosa sia meglio risolvere, in effetti; la fatica è la stessa: si tratta di trovare quegli $z,w$ tali che \(\frac{(z+w)^2}{zw}=1\). Ovviamente escludendo che $z+w=0$,ma questo ti sarà apparso evidente.

[Overflow94]

@solaàl: $ CC $ è isomorfe all'insieme che ha come elementi le matrici di rotazione $2xx2$ moltiplicate per uno scalare, non ho trovato con quale nome si indica in letteratura questo insieme.

Credevo/speravo ci fosse una scorciatoia ma a quanto pare no, bisogna impostare il sistema di equazioni, ci torno sopra domani.

[dissonance]

Pure a me questo esercizio sembra strano. Con la condizione che \(z+w\ne 0, z\ne 0, w\ne 0\), le soluzioni di quell'equazione sono i punti della conica \(z^2+w^2+zw=0\). Non so cos'altro si possa dire, se non che la conica non ha punti reali (a parte \((0,0)\) che è escluso), perché
\[
x^2+y^2+xy\ge \frac12(x^2+y^2).\]