Ciao, sto passando le ore su un esercizio che in realtà è molto semplice perciò vi chiedo aiuto/conferma.
"In $R^3$ dotato del prodotto scalare usuale si considerino i sottospazi $T={(x,y,z)€R^3 t.c. x+y+z=0$ e $V=<(1,0,1),(1,-1,2)>$.
1) Determinare un sistema che abbia V come soluzioni. Determinare l'intersezione tra V e Ti.
2) Trovare una base ortonormale di T. Determinare la proiezione ortogonale di (3,1,1) su V e su T.
3) Determinare due sottospazi (non nulli) L e L' tali che L+T=L+V=L'+T=L'+V (tutti in somma diretta) e tali che L'+L (somma diretta). Sono L' e L unici?"
Ho provato a risolvere così:
1) per determinare l'intersezione pongo $(x,y,z)=a(1,0,1)+b(1,-1,2)$ e risolvo tramite un sistema. Mi risulta $x-y-z=0$.
Trovo due autovettori di T ad esempio (-1,1,0) e (-1,0,1) e verifico l'indipendenza lineare tramite una matrice. Un vettore è linearmente indipendente quindi scelgo, per esempio, $(-1,1,0),(-1,0,1),(1,0,1)$ (su questo passaggio ho molti dubbi)
2 per trovare una base ortonormale di T applico Gram-Schmidt (non riporto i passaggi per abbreviare). La proiezione ortogonale di (3,1,1) su V e su T come la trovo invece? So come fare per proiettare un vettore su in altro vettore ma su un autospazio no.
3) per trovare L e L' ho pensato che potrei utilizzare i vettori della base canonica, giusto? Essi però non sarebbero unici bensì infiniti
Grazie mille in anticipo a chi mi aiuterà