Sistema, sottospazio, proiezione ortogonale

[ccc]

Ciao, sto passando le ore su un esercizio che in realtà è molto semplice perciò vi chiedo aiuto/conferma.

"In $R^3$ dotato del prodotto scalare usuale si considerino i sottospazi $T={(x,y,z)€R^3 t.c. x+y+z=0$ e $V=<(1,0,1),(1,-1,2)>$.
1) Determinare un sistema che abbia V come soluzioni. Determinare l'intersezione tra V e Ti.
2) Trovare una base ortonormale di T. Determinare la proiezione ortogonale di (3,1,1) su V e su T.
3) Determinare due sottospazi (non nulli) L e L' tali che L+T=L+V=L'+T=L'+V (tutti in somma diretta) e tali che L'+L (somma diretta). Sono L' e L unici?"

Ho provato a risolvere così:
1) per determinare l'intersezione pongo $(x,y,z)=a(1,0,1)+b(1,-1,2)$ e risolvo tramite un sistema. Mi risulta $x-y-z=0$.
Trovo due autovettori di T ad esempio (-1,1,0) e (-1,0,1) e verifico l'indipendenza lineare tramite una matrice. Un vettore è linearmente indipendente quindi scelgo, per esempio, $(-1,1,0),(-1,0,1),(1,0,1)$ (su questo passaggio ho molti dubbi)
2 per trovare una base ortonormale di T applico Gram-Schmidt (non riporto i passaggi per abbreviare). La proiezione ortogonale di (3,1,1) su V e su T come la trovo invece? So come fare per proiettare un vettore su in altro vettore ma su un autospazio no.
3) per trovare L e L' ho pensato che potrei utilizzare i vettori della base canonica, giusto? Essi però non sarebbero unici bensì infiniti

Grazie mille in anticipo a chi mi aiuterà

[Bokonon]

Per il punto 1) hai trovato il piano corretto. Poi ti chiedono di trovare l'intersezione dei due piano, ovvero una retta.
Metti a sistema le due equazioni e ricava la forma parametrica. Otterrai lo span di $(0,1,-1)$.

Per il punto 2), una base ortonormale per T si trova anche ad occhio. Per esempio i vettori $(1,0,-1)$ e $(1,-2,1)$.
Li normalizzi ed hai finito.
Per le proiezioni ortogonali, devi tornare a studiare il metodo GM e la sua generalizzazione.
Meglio ancora sarebbe imparare come si costruiscono le matrici di proiezione ortogonale (e non). Se cerchi fra i miei post, troverai un thread di un paio di mesi fa in cui ho spiegato ad un utente come si costruiscono le matrici di proiezione in generale e la relazione con autovettori e autovalori. La proiezione di quel vettore su T è $2/3(2,-1,-1)$ mentre quella su V è $4/3(2,1,1)$

Per il punto 3), ti chiedono semplicemente di trovare 2 vettori linearmente indipendenti che non appartengano a nessuno dei due piani. Ce ne sono infinite coppie che soddisfano la richiesta. Sostanzialmente le varie somme dirette restituiscono $RR^3$.
I primi due vettori che soddisfano i requisiti che mi vengono in mente sono i vettori ortogonali ai due piani.
Il vettore $(1,1,1)$ è ortogonale a T e quindi esso e tutte le sue comb. lineari non gli appartengono. Inoltre è facile verificare che non appartiene nemmeno a V, basta sostituto nella sua equazione cartesiana.
Stesso discorso ma al contrario per $(1,-1,-1)$

[Bokonon]

Ecco il thread di cui parlavo
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8436563