Duale e spazio ortogonale

[anto_zoolander]

Ciao!

non riesco a concludere questa dimostrazione

sia $X$ un $k$ spazio vettoriale(dimensione finita intanto), $WleqX$ un sottospazio non banale e $varphi:XtimesX->k$ una forma bilineare simmetrica non degenere, allora $W_(0)^(_|_)={ f in X^(star): f(y)=0_k, forall y in W }$ è isomorfo a $W^(_|_)={x in X: varphi(x,y)=0, forally in W}$

ho considerato l'applicazione $L(x)=varphi(x,*)$
l'iniettività viene dal fatto che $varphi$ è non degenere

non riesco a dimostrare che è suriettiva, pensavo di utilizzare una versione più leggera di Riesz ma non ho ottenuto molto.

se $f in W_(0)^(_|_)$, non nulla, si ha $dimKer(f)+dimf(X)=dimXleqdimKer(f)+dimKer(f)^(_|_)$
ossia $1leqdimKer(f)^(_|_)$ quindi ha un vettore non nullo, detto $x_0$, al suo interno

si pone $f(f(x)x_0-f(x_0)x)=0 => f(x)x_0-f(x_0)x in Ker(f), forall x in X$

da cui $0=varphi(x_0,f(x)x_0-f(x_0)x)=f(x)varphi(x_0,x_0)-f(x_0)varphi(x_0,x)$

ora non riesco a concludere da $f(x)varphi(x_0,x_0)=f(x_0)varphi(x_0,x)$

mi servirebbe dimostrare che $f(x_0)ne0$ o che comunque possa prenderlo in modo tale che non si annulli.

[solaàl]

\(\varphi\) definisce per currying un'unica mappa lineare \(X \to X^*\); chi è il suo nucleo?

[anto_zoolander]

Mai sentito parlare di curriyng

[solaàl]

Mai sentito parlare di curriyng

Per prima cosa ti serve della radice di curcuma; va bollita e seccata, preferibilmente al sole (quindi è una procedura che non può essere fatta naturalmente in climi non abbastanza caldi; se riesci a procurartene uno, è preferibile usare un essiccatore). Quando hai la radice essiccata devi ridurla in polvere insieme a pepe nero, coriandolo, zenzero e cardamomo, noce moscata e peperoncino. Si conserva all'asciutto, in un barattolo ermetico perché non perda l'aroma nel tempo.

In alternativa, puoi prendere tre spazi vettoriali \(U,V,W\) e dimostrare che esiste una catena di isomorfismi
\[
\text{Bil}(V\times W, k)\cong \hom_k(V\otimes W,k)\cong \hom_k(V, W^*)\cong \hom_k(W,V^*)
\] indotti dalla proprietà universale del prodotto tensoriale.

[kaspar]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Una piccola incursione, poi me ne torno ad Algebra Lineare...

Mai sentito parlare di curriyng

Il currying, per quello che ne so, è un modo di dare una funzione. È meglio fare un esempio pratico in \({\bf Set}\) (spoglio di orpelli inutili per il discorso che sto facendo). Una funzione \(f\) in due variabili rispettivamente prese da insiemi \(X\) e \(Y\) e con codominio \(Z\) viene data "classicamente" come \(f : X \times Y \to Z\). Però puoi pensare di fare à la Haskell Curry: ogni funzione è ad un solo argomento! Come? Dicendo che \(f\) è una funzione che fa questo: manda ogni \(x \in X\) nella funzione \(Y \to Z\) che manda \(y \in Y\) in \(f(x,y)\). Se hai fatto un po' di programmazione funzionale (quindi non imperativa), una roba di questo tipo si chiamerebbe higher order function¹. Come dire... la funzione viene "spezzettata", facendole accettare un input alla volta. Per metterla giù in forma simbolica e riassuntiva, \(f\) viene assegnata così: \[
f : X \to \hom(Y, Z)
\] dove \(f(x, -)\)² è l'immagine di \(x\) mediante \(f\) (che è una funzione) e \(f(x, y)\) è l'immagine di \(y\) una volta che hai già dato in pasto \(x\).
La matematizzazione di tutto ciò è dietro l'angolo: \[\hom(X \times Y, Z) \cong \hom(X, Z^Y) = \hom\big(X, \hom(Y,Z) \big).\] Puoi tranquillamente dimostrarlo. (Ciò non vale solo per «insiemi con eventualmente della struttura addosso», puoi parlare di esponenziazione in categorie che abbiano i prodotti, oppure questa cosa spunta fuori con le aggiunzioni. Qualche hint per cercare.)

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Note

1. Ma tanto in Matematica sono tutte funzioni di uguale dignità. ↑
2. Se non ti piace il meno, puoi mettere anche un spazio vuoto, \(f(x, \quad)\), un trattino basso, \(f(x,\_)\) o un puntino, \(f(x, \cdot)\), come hai già fatto. ↑

[anto_zoolander]

@kaspar
Grazie avevo studiato questa cosa ma non pensavo si chiamasse in questo modo

@solal
Bella ricetta

Onestamente ci sono andato così

Prendo $T:X->X^(star) $ definito come $Tx=varphi(x,*)$ che risulta essere un isomorfismo poiché $varphi$ è non degenere. La restrizione, che continuerò a chiamare $T$, da $W^(_|_) -> W_0^(_|_)$ è ben posta poichè

$ x in W^(_|_) $ allora per ogni $y in W$ si ha $Tx(y) =varphi(x, y) =0$ pertanto $Tx in W_0^(_|_)$

È iniettiva poichè lo è di partenza

È suriettiva poichè presa $psi in W_0^(_|_)$ esiste un $x in X$ per cui $varphi(x, *) =Tx=psi$

Ora per ogni $ y in W$ si ha $0=psi(y)=varphi(x,y) => y in W^(_|_) $