retta parallela ad un piano, sghemba con r e s

[j18eos]

Sì, ma \(\displaystyle t\) e \(\displaystyle x\) sono "libere", oppure sono costanti?

[john_titor20]

sono costanti e valgono 0

[j18eos]

Esatto, quindi ottiene un sistema di tre equazioni lineari, il cui rango è \(\displaystyle3\) (esercizio), quindi quella è la rappresentazione cartesiana di una retta.

[john_titor20]

ok quindi la mia retta è
$s$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=0 &\\ z-y-2=0 & \end{array}\right.\)
ed invece per la seconda parte dell'esercizio?

[j18eos]

Chiedo scusa: penso che ci sia un errore scemo nello svolgimento, ovvero il seguente

Le 3 direzioni dovrebbero dunque essere $ (-1, 2, 0, 0) $, $ (0, 0, 2, 3) $ e $ (0, 0, 1, 1) $ [...]

Essendo le coordinate \(\displaystyle(t,x,y,z)\), seguendo il trucco suggerito da Bokonon, i vettori con cui lavorare sono \(\displaystyle(-1,2,0,0),(0,0,2,3),(0,1,1,0)\)!

Quindi la retta \(\displaystyle s\) è rappresentata cartesianamente dal sistema di equazioni lineari (controllare i calcoli):
\[
\begin{cases}
t=0\\
y-x=-1\\
z=-1
\end{cases}.
\]
Sistemato ciò, bisogna innanzi tutto scegliere la direzione di \(\displaystyle q\) in modo che sia parallela a \(\displaystyle\pi\); ma è facile dato che si conoscono i vettori generatori degli spazi direttori.

Quale potrebbe essere una possibile scelta?

[john_titor20]

Forse sbaglierò, ma credo basti prendere un vettore linearmente dipendente da uno dei due vettori direttori del piano, ad esempio che sia il doppio?
ed inoltre si potrebbe ottenere una verifica con Rouchè-Capelli verificando che il $rank(A)\ne rank(A|b)$, dove $A$ è la matrice con i "coefficienti" della retta e del piano?

[j18eos]

Scelta assolutamente corretta!

...non ho capìto poi il ragionamento con Rouché-Capelli.

[john_titor20]

Mi spiego meglio:
preso il piano $pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):}$ esso può essere scritto come $pi:{ ( t=alpha ),( x=alpha/2 ),(y=beta), (z=3/2 beta+5/2):}$ i cui vettori direttori sono $(2alpha, alpha, 0, 0)$ e $(0,0, 2beta, 3beta)$.
prendendo $(2alpha, alpha, 0, 0)$ si può ottenere la retta $q: {(t=4),(x=2),(y=z), (z=0):}$
Ora se io all'interno di una matrice inserissi i coefficienti del piano e della retta, notando che il rango $ rank(A)\ne rank(A|b) $, sarebbe un ulteriore conferma del parallelismo tra retta e piano siccome i due sistemi sarebbero incompatibili?

E quali altre condizioni dovrebbe avere la retta q affinché sia anche sghemba a r e s

[j18eos]

Veramente \(\displaystyle q\) avrebbe rappresentazione parametrica:
\[
\begin{cases}
t=2\alpha+t_0\\
x=\alpha+x_0\\
y=0\alpha+y_0\\
z=0\alpha+z_0
\end{cases}
\]
con \(\displaystyle(t_0,x_0,y_0,z_0)\) punto da scegliere... e si passa alla rappresentazione cartesiana.

Per come scelti i numeri direttori: \(\displaystyle q\) e \(\displaystyle\pi\) sono paralleli.

La domanda è: quale punto bisogna scegliere affinché \(\displaystyle q\) sia sghemba con \(\displaystyle r\) ed \(\displaystyle s\)? Qui si potrebbe utilizzare Rouché-Capelli, una volta scritte le rappresentazioni cartesiane di queste rette!

[john_titor20]

Mi corregga se sbaglio, due rette sono sghembe se e solo se esse non sono né incidenti né parallele, di conseguenza i punti $t_0,x_0,y_0,z_0$ di $q$ devono essere diversi e indipendenti da quelli di $s$ e $r$
Prese perciò le rette $s$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=0 &\\ x=b &\\ y=-1+b &\\z=-1 & \end{array}\right.\)
e $r$ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\)

$t_0,x_0,y_0,z_0$ potrebbero perciò essere $(2, 3, 1, 2)$ e la retta $q$ sarebbe\[ \begin{cases} t=2\alpha+2\\ x=\alpha+3\\ y=0\alpha+1\\ z=0\alpha+2\end{cases} \]