Disequazione con le norme

[Giorgeous]

Buongiorno a tutti, vi chiedo aiuto per trovare un modo di mostrare questa disequazione in uno spazio vettoriale normato qualsiasi:
\( ||x||^2 + ||y||^2 \leq ||x-y||^2 + ||x+y||^2\)
Ho provato ad usare la diseguaglianza triangolare ma non mi sembra di arrivare da nessuna parte. Ho persino provato a portare \( ||x^2|| \) e \( ||x-y||^2 \) dall'altra parte per avere differenze tra quadrati, ma fattore per fattore non riesco ad avere le diseguaglianze.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[Giorgeous]

$x^Tx+y^Ty\le (x^Tx-2x^Ty+y^Ty)+(x^Tx+2x^Ty+y^Ty)=2x^Tx+2y^Ty$.

Grazie mille per aver risposto! Purtroppo devo dimostrarlo in generale però, non deve necessariamente esserci un prodotto scalare.

[Bokonon]

Usa la legge del parallelogramma

[Giorgeous]

Usa la legge del parallelogramma

Purtroppo la legge del parallelogram a vale solo per spazi di Hilbert, ma devo dimostrarlo in generale per spazi normati!

[Bokonon]

Come "purtroppo"?
Stai cercando di dimostrare che la disequazione è sempre vera anche per prodotti scalari degeneri o indefiniti?

[Giorgeous]

Devo dimostrarlo per un qualunque spazio normato. Se non ricordo male però non tutte le norme sono indotte da un prodotto scalare, giusto? Perché in tal caso significherebbe che la legge del parallelogramma non la posso usare in generale se ho uno spazio normato e basta.

[Bokonon]

Scusami, che definizione hai di norma?

[otta96]

Ma perchè sei convinto che sia vera quella disuguaglianza?

[Giorgeous]

Scusami, che definizione hai di norma?

Intendo la definizione come mappa da uno spazio vettoriale nei reali positivi tale che \( ||x||=0 \iff x=0 \), omogenea rispetto al prodotto per uno scalare e tale che valga la disuguaglianza triangolare.

[Giorgeous]

Ma perchè sei convinto che sia vera quella disuguaglianza?

Il professore ha chiesto questa diseguaglianza per l'esame di analisi funzionale.