da Bokonon » 19/02/2020, 22:55
Proviamo a riordinare i concetti.
Per prima cosa si definisce il concerto di vettore che è puramente geometrico. Disegna due vettori sul foglio e usa la definizione di somma. Punto.
Non hanno un sistema di riferimento, ne componenti ne infine una norma specifica. L'unica regola imposta è che la norma, ovvero la loro lunghezza deve essere positiva a meno che il vettore non sia un punto.
Due vettori su un foglio possono rappresentare qualsiasi cosa per isomorfismo: un vettore n-dimensionale su un campo a piacere fino ad operazioni fra funzioni, matrici o polinomi.
Tutto ciò che vuoi.
Poi subentra la definizione di spazio vettoriale che limita fortemente le scelte possibili, ovvero si possono associare a spazi vettoriali solo applicazioni lineari o linearizzabili.
Le derivate sono lineari? Si, quindi possiamo associare loro dei vettori e quindi matrici e quindi un prodotto scalare.
Gli integrali sono lineari? Di nuovo, si.
E così via (per fortuna altrimenti non avremmo manco la scienza moderna).
Ma alla base di tutto ci sono i vettori geometrici. Come possono esistere degli ismorfimi associati ai vettori e alla definizione di norma senza rispettare le regole di base?
Un integrale associa ad una funzione un numero reale. La norma della funzione è positiva per definizione e all'integrale è associato un prodotto scalare. Pensavi di non poter rappresentare l'integrale con una matrice?
E allora dove sarebbe la connessione con uno spazio vettoriale?