Re: Disequazione con le norme

Messaggioda Bokonon » 19/02/2020, 22:11

Appunto...in altre parole dev'essere associata ad un prodotto scalare a sua volta associato ad una forma bilineare simmetrica e definita positiva.
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda otta96 » 19/02/2020, 22:17

Quale prodotto scalare secondo te induce la norma $1$ in $RR^2$? Intendo $||((x,y))||_1=|x|+|y|$.

Giorgeous ha scritto:Il professore ha chiesto questa diseguaglianza per l'esame di analisi funzionale.

Ok, ci penso.
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda Giorgeous » 19/02/2020, 22:25

otta96 ha scritto:Ok, ci penso.


Grazie mille!

Appunto...in altre parole dev'essere associata ad un prodotto scalare a sua volta associato ad una forma bilineare simmetrica e definita positiva.


Non condivido, del resto l'esempio di otta96 non penso sia associabile ad un prodotto scalare (non vale la regola del parallelogramma).
Grazie anche a te in ogni caso!
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda Bokonon » 19/02/2020, 22:55

Proviamo a riordinare i concetti.
Per prima cosa si definisce il concerto di vettore che è puramente geometrico. Disegna due vettori sul foglio e usa la definizione di somma. Punto.
Non hanno un sistema di riferimento, ne componenti ne infine una norma specifica. L'unica regola imposta è che la norma, ovvero la loro lunghezza deve essere positiva a meno che il vettore non sia un punto.
Due vettori su un foglio possono rappresentare qualsiasi cosa per isomorfismo: un vettore n-dimensionale su un campo a piacere fino ad operazioni fra funzioni, matrici o polinomi.
Tutto ciò che vuoi.
Poi subentra la definizione di spazio vettoriale che limita fortemente le scelte possibili, ovvero si possono associare a spazi vettoriali solo applicazioni lineari o linearizzabili.
Le derivate sono lineari? Si, quindi possiamo associare loro dei vettori e quindi matrici e quindi un prodotto scalare.
Gli integrali sono lineari? Di nuovo, si.
E così via (per fortuna altrimenti non avremmo manco la scienza moderna).

Ma alla base di tutto ci sono i vettori geometrici. Come possono esistere degli ismorfimi associati ai vettori e alla definizione di norma senza rispettare le regole di base?

Un integrale associa ad una funzione un numero reale. La norma della funzione è positiva per definizione e all'integrale è associato un prodotto scalare. Pensavi di non poter rappresentare l'integrale con una matrice?
E allora dove sarebbe la connessione con uno spazio vettoriale?
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda Bokonon » 19/02/2020, 23:48

@arnett
Quindi negano la base di fondo sui vettori geometrici e il fatto che la lunghezza di un segmento debba essere positiva per essere una norma?
Cosa intendi dire?
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda Bokonon » 20/02/2020, 01:09

@arnett
Non sapevo nemmeno di aver dimostrato qualcosa.
Grazie dell'illuminazione.
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda dissonance » 25/02/2020, 16:15

https://math.stackexchange.com/q/1677727/8157

P.S.: Questa è una disuguaglianza, non una disequazione. (La parola "disequazione" sparisce quasi completamente dal vocabolario matematico, più o meno alla fine delle superiori).
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda dissonance » 25/02/2020, 19:49

Non ti sfugge niente, in effetti ora che vedo meglio non è proprio la stessa cosa, ma dovrebbe andare bene la stessa dimostrazione. Se trovo un pezzo di carta faccio il conto, sono in viaggio
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda dissonance » 26/02/2020, 11:28

Ho trovato un pezzo di carta. Proviamo a fare la seguente posizione:
\[
\xi=x+y, \quad \eta=x-y.
\]
Allora
\[
\|x\|^2 + \|y\|^2 =\frac14 \|\xi+\eta\|^2 + \frac14\|\xi-\eta\|^2\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2 + \|\xi\|\|\eta\|, \]
e poi ci ricordiamo che
\[\|\xi\|\|\eta\|\le \frac12 \|\xi\|^2 + \frac12 \|\eta\|^2, \]
quindi concludiamo che
\[\|x\|^2 + \|y\|^2\le \|\xi\|^2 + \|\eta\|^2,\]
che è ciò che volevamo dimostrare.
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Re: Disequazione con le norme

Messaggioda dissonance » 27/02/2020, 09:55

Eh, vabbé, grazie Sergio. :-) era un giochino più che altro, certo ad un esame può capitare che la soluzione non venga in mente
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