Wedge di infiniti cerchi

[3m0o]

Sia \( X = \bigvee _{1}^{\infty} S^1 \) il wedge di un numero numerabile di copie di cerchi \( S^1 \) e \( Y \) gli anelli hawaiani:
\[ Y = \bigcup_{n=0}^{\infty} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x- 1/n)^2 + y^2 = 1/n^2 \} \]
1) Studiare le proprietà di compatezza di \(X \) e \(Y \).
2) Descrivere gli aperti di \(x \) e \(Y \).
3) Dimostra che \(X \) e \(Y \) non sono omeomorfi.

1) Direi che prendendo \( \mathbb{R}^2 \) con la topologia euclidea abbiamo che \( Y \) con la topologia sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) munito della euclidea abbiamo che \(Y \) è compatto per Heine-Borel.
Per \(X \) onestamente non ho ben capito cos'è il wedge, l 'assistente mi ha detto che attacchi questi infiniti cerchi in un punto e si intersecano tutti solo lì quindi formano una sorta di "anello" in \( \mathbb{R}^3 \) ma non ho capito perché! A naso direi che non è compatto perché siccome i cerchi si attaccano tutti in un solo punto possiamo trovare una successione di infinite palle di \( \mathbb{R}^3 \) la cui unione mi ricopre un solo cerchio di \(X \) e non interseca nessun'altro cerchio prendendo come raggio delle palle un terzo della distanza minimale tra il cerchio in questione ed un'altro cerchio.
2) Per \(Y \) prenderei la topologia sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) munito della euclidea, mentre per \(X \) prenderei la topologia sottoinsieme di \( \mathbb{R}^3 \) munito della euclidea, ma non onestamente se la domanda vuole altro.
3) Se come credo \(X \) non è compatto e \(Y \) è compatto allora non sono omeomorfi, siccome se non erro la compattezza è un invariante per omeomorfismo.

[solaàl]

Cosa ti assicura che $Y$ sia chiuso? E' un'unione numerabile di chiusi, non è automatico lo sia.

Poi, un CW complesso (tale è $X$) è compatto se e solo se è finito (più forte: un sottospazio compatto di un CW complesso interseca un numero finito di celle di ogni dimensione). Quindi $X$ non è finito, perché ha un numero infinito di 1-celle.

Il wedge di due spazi topologici puntati $(A,a),(B,b)$ è lo spazio che ottieni incollando $A$ e $B$ per i punti che hai messo in evidenza, e dando al risultato la topologia quoziente. Più formalmente, stai prendendo l'unione disgiunta
\[
A\coprod B = (A\times \{1\}) \cup (B\times\{0\})
\] dei due spazi topologici, e poi stai quozientando per la relazione di equivalenza \(uRv : (u=v) \vee (u=(a,1), v=(b,0))\)

$X$ e $Y$ non sono omeomorfi perché $X$ è localmente contraibile, $Y$ no (mettiti in un intorno dell'origine in $Y$; non è semplicemente connesso, quindi non è contraibile).