Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

Messaggioda AstaLaVista » 23/02/2020, 18:43

Buonasera, sto studiando le forme bilineari simmetriche ma mi è venuto un piccolo dubbio :

Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$ e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$
devo scrivere un espressione di questo tipo :

$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.

Alla fine svolgendo tutti conti mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.

Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?
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Re: Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

Messaggioda Sergio » 23/02/2020, 22:38

Premessa: ho il sospetto di aver capito ben poco di quello che hai scritto. Spero in chi lo capisca meglio di me.

AstaLaVista ha scritto:Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$, chiamiamola $g$, e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$

Le basi si possono cambiare, ma se la forma simmetrica è definita da ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} mapsto x_1y_1 + x_2y_2$, rimane tale quale che sia la base di \(\mathbb{K}^2\).
Se stai pensando alla matrice associata, mi pare che sia $A=((1,0),(0,1))$ perché quella forma bilineare simmetrica non è altro che il prodotto scalare standard.

AstaLaVista ha scritto:devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.

Alla fine svolgendo tutti conti mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.

Qui non ho capito proprio nulla.
La matrice di cambiamento di base dalla nuova base alla canonica è $M_{U,E}=((1,1),(0,1))$, quella dalla canonica alla nuova base ne è l'inversa: $M_{E,U}=((1,-1),(0,1))$.
Proviamo con vettori $x=(2,3)$ e $y=(5,7)$. Hai:
a) $g(x,y)=10+21=31$;
b) e infatti $x^TAy=31$;
c) rispetto alla base $U$ le coordinate dei due vettori sono $x_U=(-1,3)$ e $y_U=(-2,7)$ e hai:
$$(M_{UE}x_U)^TA(M_{UE}y_U)=x_U^T(M_{UE}^TAM_{UE})y_U=31$$

AstaLaVista ha scritto:Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?

Un'altra coppia di vettori o un'altra forma bilineare? Non capisco proprio...
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Re: Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

Messaggioda AstaLaVista » 24/02/2020, 01:07

AstaLaVista ha scritto:Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$, chiamiamola $g$, e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$

devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.

Alla fine svolgendo tutti conti (che nel messaggio precedente ho sbagliato per altro) mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.

Sergio ha scritto:Qui non ho capito proprio nulla.


Grazie anzitutto per aver risposto, cercherò di spiegarmi meglio :

quello che devo fare è capire cosa succede se io provo a effettuare un cambiamento di base su quella forma bilineare. Dal momento che il vettore $(x_1,x_2)$ lo posso scrivere come : $(x_1,x_2) = x_1(1,0) + x_2(0,1) = x_1e_1 + x_2e_2$ con $e_1 $,$ e_2$ rispettivamente, primo e secondo vettore della base canonica, per vedere come cambiano le coordinate cambiando i vettori della base posso porre
$x_1e_1 + x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$ dove con $u_1$ , $u_2$ indico le nuove basi e $X_1$ e $X_2$ le coordinate rispetto alle nuove basi.
Alla fine quello che trovo (svolgendo i calcoli) è che
${\X_1 = x_1 -x_2$ , $X_2= x_2}$ quindi ${ x_1 = X_1+X_2$, $x_2=X_2}$
che sono i due cambiamenti di coordinate, giusto?

AstaLaVista ha scritto:Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?

Sergio ha scritto:Un'altra coppia di vettori o un'altra forma bilineare? Non capisco proprio...


Qui mi sono espresso malissimo, quello che intendo dire è che con un'altra forma bilineare
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 +x_2y_1 +x_1y_2$ se voglio effettuare nuovamente il cambiamento di base (per quelle stesse nuove basi) per trovare le nuove coordinate devo porre
$(x_1,x_2) = x_1e_1 + x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$ con $e_1 = (1,1)$, $e_2 =(1,0)$ giusto?
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Re: Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

Messaggioda Sergio » 24/02/2020, 10:10

AstaLaVista ha scritto:Alla fine quello che trovo (svolgendo i calcoli) è che
${\X_1 = x_1 -x_2$ , $X_2= x_2}$ quindi ${ x_1 = X_1+X_2$, $x_2=X_2}$
che sono i due cambiamenti di coordinate, giusto?

In genere si usano matrici di cambiamento di base, le cui colonne siano le coordinate rispetto alla nuova base degli elementi della vecchia.
Se vuoi cambiare da canonica a $U=\{u_1=(1,0),u_2=(1-1)\}$ le coordinate di $e_1=(1,0)$ rispetto a $U$ sono $(1,0)$, quelle di $e_2=(0,1)$ sono $(-1,1)$. Metti in colonna e ottieni $M_{EU}=((1,-1),(0,1))$.
Se vuoi cambiare da $U$ a canonica è ancora più semplice, perché le coordinate rispetto alla canonica coincidono con le componenti, quindi ti basta mettere in colonna i vettori di $U$ per ottenere $M_{UE}=((1,1),(0,1))$.
Usando queste matrici si confermano i tuoi risultati (dopo la tua correzione).
Questo però è solo un cambiamento di base.
Se si vuole applicare la forma bilineare a coordinate rispetto a $U$, normalmente si usa la matrice associata.
La matrice associata alla tua forma bilineare, che indico con $g(x,y)$, rispetto alla base canonica è:
$A=((g(e_1,e_1),g(e_1,e_2)),(g(e_2,e_1),g(e_2,e_2)))=((1,0),(0,1))$
Se non hai i due vettori $x$ e $y$, ma hai solo le loro coordinate rispetto a $U$, puoi calcolare:
$g(X,Y)=(M_{UE}X)^TA(M_{UE}Y)=X^TM_{UE}^TAM_{UE}Y=x^TAy$

AstaLaVista ha scritto:Qui mi sono espresso malissimo, quello che intendo dire è che con un'altra forma bilineare
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 +x_2y_1 +x_1y_2$ se voglio effettuare nuovamente il cambiamento di base (per quelle stesse nuove basi) per trovare le nuove coordinate devo porre
$(x_1,x_2) = x_1e_1 + x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$ con $e_1 = (1,1)$, $e_2 =(1,0)$ giusto?

Se la nuova base è sempre la $U$ di prima, le matrici di cambiamento di base non cambiano, cambia solo la matrice associata alla nuova forma bilineare, che chiamerò $h(x,y)$:
$B=((h(e_1,e_1),h(e_1,e_2)),(h(e_2,e_1),h(e_2,e_2)))=((1,1),(1,0))$
Quindi $(1,1)$ e $(1,0)$ non sono coordinate, sono le colonne della matrice associata alla forma bilineare rispetto alla base canonica.
Se vuoi operare su coordinate rispetto a $U$ puoi usare $M_{UE}^TBM_{UE}=((1,2),(2,3))$, che è la matrice associata a $h$ rispetto a $U$.
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