Cambiamento base Forme bilineari simmetriche
Inviato: 23/02/2020, 18:43
Buonasera, sto studiando le forme bilineari simmetriche ma mi è venuto un piccolo dubbio :
Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$ e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$
devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.
Alla fine svolgendo tutti conti mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.
Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?
Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$ e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$
devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.
Alla fine svolgendo tutti conti mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.
Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?