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Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

MessaggioInviato: 23/02/2020, 18:43
da AstaLaVista
Buonasera, sto studiando le forme bilineari simmetriche ma mi è venuto un piccolo dubbio :

Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$ e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$
devo scrivere un espressione di questo tipo :

$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.

Alla fine svolgendo tutti conti mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.

Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?

Re: Cambiamento base Forme bilineari simmetriche

MessaggioInviato: 24/02/2020, 01:07
da AstaLaVista
AstaLaVista ha scritto:Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$, chiamiamola $g$, e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$

devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora $X$ e $Y$ rappresentano le coordinate degli stessi vettori rispetto a questa nuova base. (In questo caso trovo le $X$ in funzione delle $x$.

Alla fine svolgendo tutti conti (che nel messaggio precedente ho sbagliato per altro) mi trovo ad avere che $X_1= (x_1+x_2)/2$ e $X_2 = (x_1-x_2)/2$ che rappresentano le nuove coordinate in funzione delle vecchie.

Sergio ha scritto:Qui non ho capito proprio nulla.


Grazie anzitutto per aver risposto, cercherò di spiegarmi meglio :

quello che devo fare è capire cosa succede se io provo a effettuare un cambiamento di base su quella forma bilineare. Dal momento che il vettore $(x_1,x_2)$ lo posso scrivere come : $(x_1,x_2) = x_1(1,0) + x_2(0,1) = x_1e_1 + x_2e_2$ con $e_1 $,$ e_2$ rispettivamente, primo e secondo vettore della base canonica, per vedere come cambiano le coordinate cambiando i vettori della base posso porre
$x_1e_1 + x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$ dove con $u_1$ , $u_2$ indico le nuove basi e $X_1$ e $X_2$ le coordinate rispetto alle nuove basi.
Alla fine quello che trovo (svolgendo i calcoli) è che
${\X_1 = x_1 -x_2$ , $X_2= x_2}$ quindi ${ x_1 = X_1+X_2$, $x_2=X_2}$
che sono i due cambiamenti di coordinate, giusto?

AstaLaVista ha scritto:Se considero invece un'altra coppia di vettori
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_1 + x_1y_2$ e voglio effettuare lo stesso cambiamento di base, l'espressione $(1)$ rimane la medesima con le stesse nuove coordinate di vettori o devo scrivere in maniera diversa?

Sergio ha scritto:Un'altra coppia di vettori o un'altra forma bilineare? Non capisco proprio...


Qui mi sono espresso malissimo, quello che intendo dire è che con un'altra forma bilineare
${(x_1,x_2),(y_1,y_2)} -> x_1y_1 +x_2y_1 +x_1y_2$ se voglio effettuare nuovamente il cambiamento di base (per quelle stesse nuove basi) per trovare le nuove coordinate devo porre
$(x_1,x_2) = x_1e_1 + x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$ con $e_1 = (1,1)$, $e_2 =(1,0)$ giusto?