Se f∘g = g∘f allora V possiede base di autovettori comuni a f e g

[DeltaEpsilon]

Ho urgente bisogno di rimuovere questi dubbi riguardo questa dimostrazione di Algebra.

L'enunciato è il seguente

Siano $f:V\rightarrow V$ e $g:V\rightarrow V$ endomorfismi diagonalizzabili
$V$ possiede una base di autovettori comuni a $f$ e $g \Leftrightarrow f∘g = g∘f $

L'implicazione $\Rightarrow$ è banale.

Per l'altra implicazione, considero $k_1 ... k_t$ autovalori distinti di $f$
essendo $f$ diagonalizzabile $\Rightarrow V = V_{k_1} \oplus ... \oplus V_{k_t}$

per ipotesi $f∘g = g∘f$ quindi vale $f(g(v)) = g(f(v)) = g(k_i v) = k_i g(v)$ $\forall v \in V_{k_i}$

e risulta $g(v)$ autovettore di $f$

Siano ora $\lambda_i ... \lambda_s$ autovalori distinti di $g$
essendo $g$ diagonalizzabile $\Rightarrow V = V_{\lambda_1} \oplus ... \oplus V_{\lambda_s}$

Ogni vettore di $V_{k_i}$ lo esprimo in unico modo come $v = v_1 + ... + v_s$ ($\star$)
con $v_j \in V_{\lambda_j}$ per $j = 1 ... s$

Procedo per induzione su $s$ volendo dimostrare che ogni $v_j$ appartiene a $V_{k_i}$

[s=1] $v = v_1$ quindi $v_1 \in V_{k_i}$

[s-1] Applico $g$ alla combinazione lineare $\star$ ottenendo

$g(v) = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_s v_s$

nella stessa combinazione lineare moltiplico invece per $\lambda_1$ ad ambo i membri ottenendo

$\lambda_1 v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_1 v_s$

e faccio ora la differenza fra le due espressione ottenute

$g(v) - \lambda_1 v = (\lambda_2 - \lambda_1) v_2 + ... + (\lambda_s - \lambda_1) v_s$

* Poichè il vettore $g(v) - \lambda_1 v$ appartiene a $V_{k_i}$, per ipotesi di induzione si ha che

$(\lambda_2 - \lambda_1) v_2 \in V_{k_i} $ ... $(\lambda_s - \lambda_1) v_s \in V_{k_i}$

da cui segue che

$v_2 \in V_{k_i} $ ... $v_s \in V_{k_i}$

* Per la $\star$ ogni vettore di $V_{k_i}$ si esprime in unico modo come somma di un vettore di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}$, uno di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_2}$ ... uno di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_s}$

Dunque $V_{k_i} = (V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}) \oplus$ ... $\oplus (V_{k_i}\cap V_{\lambda_s})$

La dimostrazione procede poi nel considerare una base per ognuna delle intersezioni e mostrando che la loro unione forma una base di V formata da autovettori comuni a f e g

Domande:

1) La prima riguarda $\star$ ... perchè esprimiamo ogni vettore di $V_{k_i}$ in unico modo come somma di $s$ vettori e non invece come somma di $t$ vettori?

2) Riguarda la parte * ... perché il vettore $g(v) - \lambda_1 v$ appartiene a $V_{k_i}$ ?

3) Riguarda la parte * ... secondo quell'affermazione, allora $v_1 \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}$ e così via fino a $v_s \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_s}$ ... ma perchè?

Grazie in anticipo!

[billyballo2123]

1) La prima riguarda $ \star $ ... perchè esprimiamo ogni vettore di $ V_{k_i} $ in unico modo come somma di $ s $ vettori e non invece come somma di $ t $ vettori?

Bhè a questa prima domanda ti rispondo con un'altra domanda : perché dovremmo esprimere un vettore di $v\in V_{k_i}$ come somma di $t$ vettori? Vorresti scrivere $v=v_1 + \ldots + v_t$ con $v_1\in V_{k_1},\ldots, v_t\in V_{k_t}$? Ma allora in questo caso sarebbe $v_i=v$ e $v_j=\mathbf{0}$ per ogni $j\ne i$.

2) Riguarda la parte * ... perché il vettore $ g(v) - \lambda_1 v $ appartiene a $ V_{k_i} $ ?

Dunque... siamo partiti da un vettore $v\in V_{k_i}$, quindi rimane da chiarire "Perché $g(v)\in V_{k_i}$?"
E la risposta sta qui (la parte in rosso l'ho aggiunta io ):

per ipotesi $ f∘g = g∘f $ quindi vale $ f(g(v)) = g(f(v)) = g(k_i v) = k_i g(v) $ $ \forall v \in V_{k_i} $

e risulta $ g(v) $ autovettore di $ f $ relativo all'autovalore $k_i$

Infatti nella riga sopra hai dimostrato che se $v\in V_{k_i}$, allora $f(g(v))=k_ig(v)$ (e per definizione questo significa che $g(v)$ è un autovettore di $f$ relativo all'autovalore $k_i$, ovvero $g(v)\in V_{k_i}$).

3) Riguarda la parte * ... secondo quell'affermazione, allora $ v_1 \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_1} $ e così via fino a $ v_s \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_s} $ ... ma perchè?

Per ipotesi ogni $v_j\in V_{\lambda_j}$, e inoltre per induzione hai dimostrato che $v_j\in V_{k_i}$ per ogni $j=1,\ldots,s$. Questo equivale a dire che $v_j\in V_{\lambda_j}\cap V_{k_i}$ per ogni $j=1,\ldots,s$.
Forse a confonderti è la dimostrazione per induzione, che non mi sembra scritta in modo precisissimo

[dissonance]

Forse a confonderti è la dimostrazione per induzione, che non mi sembra scritta in modo precisissimo

@DeltaEpsilon: Dimostra il risultato per matrici 2x2, prima. Se capisci quel caso, poi non è difficile generalizzare.

[DeltaEpsilon]

Grazie mille... ho capito tutto... eccetto la prima

1) La prima riguarda $ \star $ ... perchè esprimiamo ogni vettore di $ V_{k_i} $ in unico modo come somma di $ s $ vettori e non invece come somma di $ t $ vettori?

Bhè a questa prima domanda ti rispondo con un'altra domanda : perché dovremmo esprimere un vettore di $v\in V_{k_i}$ come somma di $t$ vettori?

In realtà non lo so, l'ho detto solo per capire qual è il vero motivo per cui ogni vettore di $V_{k_i}$ si può esprimere come somma di $s$ vettori...

Mi torna in mente una proposizione:

"Ogni vettore di uno spazio vettorale si può esprimere in unico modo come combinazione lineare dei vettori di una base di quello spazio"

ma non so se/quanto c'entra in questa circostanza (anche perchè vorrebbe dire che $V_{k_i}$ ha dimensione $s$)

[billyballo2123]

In realtà non lo so, l'ho detto solo per capire qual è il vero motivo per cui ogni vettore di $ V_{k_i} $ si può esprimere come somma di $ s $ vettori...

Perché $g$ è diagonalizzabile e pertanto $V$ ammette una base di autovettori di $g$. Quindi, dato un vettore $v\in V_{k_i}$, esiste una base di $V$ composta da $n$ autovettori di $g$ ($n$ è la dimensione di $V$) tali per cui
\[
v=\alpha_1 w_1+\ldots+\alpha_n w_n.
\]
Supponiamo ora che $g$ abbia $s$ autovalori distinti $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che (ad esempio) i primi due vettori $w_1,w_2$ siano autovettori di $g$ relativi all'autovalore $\lambda_1$. Allo stesso modo possiamo supporre che i successivi tre vettori $w_3,w_4,w_5$ siano autovettori di $g$ relativi all'autovalore $\lambda_2$, e così via. Raggruppando ora tutti gli autovettori di $g$ a seconda di "a quale degli $s$ autovalori sono associati", possiamo definire i vettori $v_1=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2$, $v_2=\alpha_3w_3+\alpha_4w_4+\alpha_5w_5$... fino a definire il vettore $v_s$. A questo punto abbiamo
\[
\begin{split}
v=&\alpha_1w_1+\alpha_2w_2 \quad + \quad\alpha_3w_3+\alpha_4w_4 + \alpha_5w_5 \quad+\ldots + \alpha_n w_n \\
=&v_1+v_2+\ldots + v_s
\end{split}
\]
ed ecco che abbiamo scritto $v$ come somma di $s$ autovettori di $g$ (i $v_j$ sono autovettori di $g$ perché combinazioni lineari degli autovettori $w_n$ relativi ad uno stesso autovalore).