Gruppo fondamentale $\pi(\mathbb{Q},0)$

[Reyzet]

Ciao, vorrei chiedere quale dovrebbe essere il gruppo fondamentale di $mathbb\{Q}$ , $\pi(\mathbb{Q},0)$. Mi verrebbe da dire che è il gruppo banale per il semplice fatto che un cappio di base 0 nei razionali è per forza costante, essendo lo spazio totalmente sconnesso e i cammini connessi, quindi c'è una sola classe di omotopia (a sua volta fatta da un solo elemento). È giusto?
In tal caso questo va bene per dire che avere lo stesso gruppo fondamentale non implica essere omotopi? ($S^2$ è semplicemente connesso ma l'insieme dei razionali non è connesso per archi/connesso quindi non sono omotopi).

[solaàl]

Sì, \(\mathbb Q\) ha componenti connesse i singoletti; è totalmente sconnesso, perciò un cammino \(\gamma : [0,1]\to \mathbb Q\) deve per forza essere costante.

In tal caso questo va bene per dire che avere lo stesso gruppo fondamentale non implica essere omotopi?

Cosa ti hanno fatto di male gli altri gruppi di omotopia? Quelli di \(S^2\) sono tutti diversi, un numero infinito di loro è diverso da zero, mentre quelli di $QQ$ sono zero dal primo in poi...

[Reyzet]

Grazie per avermi tolto il dubbio.

Comunque non mi hanno fatto male nulla gli altri gruppi di omotopia, ci mancherebbe, solo che (almeno per ora) non li conosco né so come siano definiti avevo solo il dubbio che essere omotopi (nel senso che esistono due equivalenze omotopiche) e avere stesso gruppo fondamentale fossero sinonimi.

[solaàl]

Avevo solo il dubbio che essere omotopi (nel senso che esistono due equivalenze omotopiche) e avere stesso gruppo fondamentale fossero sinonimi.

Se ci fosse un modo di definire cosa significa che una cosa è piu falsa di un'altra, questa sarebbe la più falsa di tutte.

Se \(\pi_1(X,x_0) = [(S^1,p), (X,x_0)]\) (le classi di omotopia di mappe di spazi puntati da $S^1$ ad $X$), \(\pi_n(X,x_0) = [(S^n,p), (X,x_0)]\) (le classi di omotopia di mappe di spazi puntati da $S^n$ ad $X$). Calcolarli in senso stretto è impossibile; quelli delle sfere sono diversi da zero in infiniti gradi; sono tutti definitivamente di torsione, ma non si sa quale sia il loro ordine; il motivo profondo per cui questo è un problema difficile è lo stesso che rende difficili certi problemi di teoria elementare dei numeri.