Buongiorno a tutti.
Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ (su $\mathbb{R}$ o su $\mathbb{C}$) dotato di prodotto interno $\langle , \rangle$ e siano $v_1,...,v_n \in V$ linearmente indipendenti.
Il teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt afferema che i vettori $w_1,...,w_n \in V$ cosi definiti:
\[w_1=v_1, \quad w_i=v_i-\sum_{j=1}^{i-1} \frac{\langle v_i,w_j \rangle}{\langle w_j,w_j \rangle}w_j \quad i \in {2,...,n}\]
sono tali da soddisfare le seguenti due condizioni:
1) essere a due a due ortogonali;
2) $Span(v_1,...,v_i)=Span(w_1,...,w_i) \quad \forall i \in {1,...,n}$.
Ora la domanda: il fatto che i vettori $v_1,...,v_n$ siano linearmente indipendenti non è in realtà necessario in questa dimostrazione (infatti ho letto che Gram-Schmidt si applica anche a liste di vettori linearmente dipendenti, si veda https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%8 ... dt_process). Questa ipotesi aggiuntiva (l'indipendenza lineare dei $v_1,...,v_n$ cioè) ci garantisce solamente in più che nessuno dei $w_i$ sia nullo.
Questa cosa che ho detto è vera?
Grazie a tutti per il lavoro che fate!