Definizione di mappa quoziente

[Overflow94]

"Topology" di Munkres a pag. 137 definisce le mappe quoziente, poco dopo ne da una definizione alternativa ma senza dimostrare che le definizioni equivalgono.

1) Una mappa quoziente è una funzione tra spazi topologici $ q: X -> Y $ continua, suriettiva e tale per cui: $V $ aperto in $ Y $$ <=> $ $ q^-1(V)$ aperto in $X $.

2) Una mappa quoziente è una funzione tra spazi topologici $ q: X -> Y $ continua tale per cui $ U $ aperto in $ X $ e $ U = q^-1(q(U)) $ $=>$ $ q(U) $ aperto in $ Y $. Ovvero manda insiemi saturi aperti in aperti.

Come si può dimostrare l'equivalenza di queste due definizioni?

EDIT: corretto l'errore fattomi notare da solaàl e cambiato la notazione che poteva confondere.

[solaàl]

Forse volevi dire \(U=q(q^{-1}U)\); inizia da qui, in generale vale solo che \(U \supseteq q(q^{-1}U)\), ma se \(q\) è suriettiva vale l'uguaglianza.