Sia \(\displaystyle r : \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d = 0 & \\
aìx+b'y+c'z+d' = 0 &
\end{matrix}\right. \)con \(\displaystyle rank(A) = rank\begin{pmatrix}
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{pmatrix} = 2 \)
Allora una terna di numeri direttori $(l,m,n)$ è data da
\(\displaystyle l = \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c'
\end{vmatrix},
m = \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c'
\end{vmatrix},
n = \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b'
\end{vmatrix} \)
Dimostrazione:
\(\displaystyle \begin{vmatrix}
l&m&n \\
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c'
\end{vmatrix}
-b \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c'
\end{vmatrix}
+c \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b'
\end{vmatrix} \)
\(\displaystyle
\begin{vmatrix}
a'&b'&c' \\
a&b&c \\
l&m&n
\end{vmatrix} = a' \begin{vmatrix}
b'&c' \\
b&c
\end{vmatrix}
- b' \begin{vmatrix}
a'&c' \\
a&c
\end{vmatrix}
+c \begin{vmatrix}
a'&b' \\
a&b
\end{vmatrix} \)
∎
Una dimostrazione pur breve, ma non ci ho capito nulla.
Considera due determinanti, tra l'altro con le stesse righe ma cambiandone solo la disposizione, per ottenere cosa?
Dove viene dimostrata la tesi, ovvero che una terna di numeri direttori della retta $r$ è data dai determinanti dei minori di ordine 2 estratti dalla matrice $A$ presi a segno alterno?
Per calcolare i due determinanti viene applicato Laplace, no? Quindi perchè al secondo membro al posto di $a$, $b$ e $c$ non ci sono $l$, $m$ e $n$ per il primo determinante e al posto di $a'$, $b'$ e $c'$ non ci sono $l$, $m$ e $n$? (parlo dei 'coefficienti' dei determinanti delle matrici di ordine 2)
.
Mi servirebbe una delucidazione generale