Quoziente, spazio quoziente e topologia quoziente.

[3m0o]

Risolvendo il seguente esercizio (neanche troppo difficile) mi sono reso conto che faccio confusione su spazio quoziente, applicazione quoziente e topologia quoziente. Vorrei darvi la mia risoluzione per capire se ho capito le cose o se ci sono imprecisioni.

Definiamo su \( \mathbb{R} \) la relazione di equivalenza \( \sim \) per \( x \sim y \) se e solo se \( x=y=0 \) oppure se \(xy >0 \). Descrivere lo spazio quoziente, la sua topologia, le sue proprietà di separazione di compattezza.

In primo luogo vorrei chiarire le definizioni:
1) Topologia quoziente.
Dato uno spazio topologico \( X \) ed un insieme \(Y \) (quindi a priori non c'è alcuna topologia definita su \(Y \) ) e un'applicazione insiemistica suriettiva \( q : X \to Y \). Definiamo la topologia quoziente \( \tau_q \) su \(Y \), come quella topologia che possiede come aperti tutti i sottoinsiemi \( U \subset Y \) tale che \( q^{-1}(U) \) è aperto per la topologia definita su \( X \).
Pertanto \( U \in \tau_q \) se e solo se \( q^{-1}(U) \in \tau_X \).
2) Applicazione quoziente.
Dati due spazi topologici \(X,Y \) e dunque sia \(X \) che \(Y \) possiedono a priori una topologia, e un'applicazione \( q: X \to Y \), diciamo che \( q \) è un quoziente se è suriettiva e se \( \tau_Y = \tau_q \).

Dubbio 1:
Per qualunque applicazione insiemistica \(q \) suriettiva posso "creare" la sua topologia quoziente definendo semplicemente cos'è aperto rispetto a \( q^{-1} \) e alla topologia dello spazio di partenza. Quindi ogni applicazione insiemistica suriettiva posso renderla un quoziente?
Mentre se ho un'applicazione tra spazi topologici \( q \) suriettiva devo verificare che sia un quoziente (o eventualmente verificare che non lo sia) perché siccome ho a priori una topologia su \( Y \) non è detto che essa combaci con la topologia quoziente ? Ad esempio un'applicazione discontinua e suriettiva non è un quoziente, o anche un'applicazione continua e suriettiva ma tale che esiste \( U \not\in \tau_Y \) e tale che \( q^{-1}(U) \in \tau_X \) allora \( q \) non è un quoziente.
Mentre se tolgo la topologia a priori a \(Y \) perdo le nozioni di continuità, discontinuità e di insiemi aperti in \(Y \) e quindi per la stessa applicazione posso munire \( Y \) della topologia quoziente che mi rende la medesima applicazione che sta volta è insiemistica un quoziente?

(scusate se magari mi sono espresso male o se vi sembra contorto ma sono un po' confuso).

3) Spazio quoziente
Sia \( X \) uno spazio topologico e \( \sim \) una relazione di equivalenza \([x] := \{ y \in X : y \sim x \} \).
Definiamo \( q: X \to X / \sim \) l'applicazione che \( x \mapsto q(x)=[x] \).
Allora lo spazio quoziente \( X/ \sim \) di \(X \) per la relazione \( \sim \) è l'insieme delle classi di equivalenza rispetto a \( \sim \) munito della topologia quoziente.

Qui "decido" di dare a \( X / \sim \) la topologia quoziente e rendere \( q \) un quoziente?
Se \( X/ \sim \) possedesse un'altra topologia a priori \( q \) potrebbe non essere un quoziente e dunque \( X/ \sim \) non essere lo spazio quoziente?

Risolvendo l'esercizio:

Siccome \( \mathbb{R}/ \sim \) dev'essere lo spazio quoziente, e possiamo tranquillamente identificare la semiretta dei numeri positivi (strettamente) con \( 1 \), la semiretta dei numeri negativi (strettamente) con \( - 1 \) e l'origine con \( 0 \) abbiamo 3 classi di equivalenza e dunque
\( \mathbb{R}/ \sim = \{ -1,0,1 \} \), e \( q \) è l'applicazione definita come \( q(x)= 1 \) se \( x > 0 \), \( q(x)= -1 \) se \( x < 0 \) e \( q(x)= 0 \) se \( x = 0 \), che è chiaramente suriettiva. Inoltre siccome presumo che \( \mathbb{R} \) sia munito della topologia euclidea abbiamo che \( \mathbb{R}_{\pm}^* \) è aperto abbiamo che \( q^{-1}(\{\pm 1\}) = \mathbb{R}_{\pm}^* \) e dunque i singleton \( \{1\} \) e \( \{ -1\} \) sono aperti. Così come \( q^{-1}(\{-1,1\} ) = \mathbb{R}^* \) che è aperto abbiamo dunque che \( \{-1,1 \} \) è aperto.
Inoltre chiaramente \( \emptyset \) e \( \mathbb{R}/ \sim \) sono aperti. Ma \( q^{-1} ( \{0\}) = \{0\} \) che non è aperto nella topologia euclidea e pertanto non è aperto nemmeno nella topologia quoziente.
Dunque gli aperti sono
\[ \emptyset, \{-1\},\{1\},\{-1,1\},\mathbb{R}/\sim \]
Non è separabile chiaramente perché \(0 \) non possiamo separarlo ed è compatto poiché finito.

Se avessi deciso a priori che l'insieme \( \mathbb{R}/\sim \) fosse munito della topologia discreta allora l'applicazione \( q \) definita sopra non sarebbe stata un quoziente (poiché la topologia del codominio differisce da quella quoziente) e dunque \( \mathbb{R} / \sim \) non sarebbe stato lo spazio quoziente, corretto?

[3m0o]

Sì, insiemistica però che parta da uno spazio topologico. E esiste una ed una sola topologia che la rende una mappa quoziente, appunto la topologia quoziente sul codominio, che è la topologia più fine su $Y$ che rende continua la mappa $p$.
[...]
Sì, anzi come ho detto, la topologia quoziente rispetto alla mappa $q$ è l'unica che rende $q$ una mappa quoziente, quindi se sull'insieme quoziente metti una topologia diversa dalla topologia quoziente, sicuramente $q$ non sarà più mappa quoziente. Si fa sempre la convenzione di dare la topologia quoziente rispetto alla mappa di proiezione a un insieme quoziente, perché è la più naturale.

Ok grazie mille!
Cosa intendi per mappa di proiezione?

La risoluzione dell'esercizio mi pare corretta (cioè separabile intendi Hausdorff immagino.. separabile vuol dire un'altra cosa; a volte per dire che uno spazio è di Hausdorff si dice che è separato, ma non è una terminologia molto comune)

Si intendo separato! E il mio prof utilizza praticamente solo il termine separato.